第4节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线定义和标准方程1,6,9,11,14双曲线的几何性质2,3,4,5,7,10,12双曲线的综合问题8,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知方程-=1表示双曲线,则λ的取值范围是(C)(A)(-∞,-2)(B)(1,+∞)(C)(-∞,-2)∪(-1,+∞)(D)(-1,+∞)解析:根据题意知(2+λ)(1+λ)>0,解得λ>-1或λ<-2.故选C.2.(2016河北模拟)已知双曲线-y2=1的焦点为(2,0),则此双曲线的渐近线方程是(C)(A)y=±x(B)y=±x(C)y=±x(D)y=±x解析:依题意=2所以a=±.所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C.3.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为(C)(A)(1,)(B)(1,](C)(,+∞)(D)[,+∞)解析:因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2,所以e==>=.故选C.4.(2016邯郸模拟)已知点A,B是双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上除顶点外的一点,记kPA,kPB分别表示直线PA,PB的斜率,若kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为(C)(A)3(B)2(C)(D)解析:由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(m,n),所以kPA·kPB=·=,又点P在双曲线上,所以-=1,化简得n2=,所以kPA·kPB==.所以e==.故选C.5.(2015石家庄二检)已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不可能是(C)(A)15°(B)25°(C)60°(D)165°解析:因为两条渐近线y=±x的倾斜角分别为30°,150°,所以0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°,故选C.6.(2016宜春模拟)已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为(D)(A)5x2-=1(B)-=1(C)-=1(D)5x2-=1解析:因为抛物线的焦点为F(1,0),所以c=1.又=,所以a=,所以b2=c2-a2=1-=.故所求方程为5x2-=1.7.(2015高考四川卷)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于(D)(A)(B)2(C)6(D)4解析:双曲线x2-=1的右焦点为F(2,0),其渐近线方程为x±y=0.不妨设A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4,故选D.8.(2015银川一模)若点A(m,0)到双曲线-y2=1的一个顶点的距离是A到双曲线上各点的距离的最小值,则m的取值范围是(B)(A)[-3,3](B)[-,](C)[-2,2](D)[-,]解析:由题意知,a=2,b=1,c=,双曲线的左、右顶点分别为M(-2,0),N(2,0),显然当-2≤m<0时,点A(m,0)到双曲线左顶点的距离最短;当02时,设双曲线右支上任意一点P(x,y),|PA|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+-1≥|AN|2=(2-m)2,化简得(2x-4)m≤x2-5,当x=2时,不等式恒成立,当x>2时,m≤(x+2),故m≤;同理,当m<-2时,m≥-,故m的取值范围是[-,].9.(2015惠州二调)双曲线2x2-y2=8的实轴长是.解析:由2x2-y2=8得-=1,所以2a=4,所以实轴长为4.答案:410.(2015高考湖南卷)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.解析:不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,所以-=1,所以=5,所以e==.答案:11.(2016成都模拟)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为.解析:在方程x2+y2-4x-9=0中,令x=0得y=±3.不妨设A(0,-3),B(0,3).设所求双曲线标准方程为-=1(a>0,b>0),因为点A在双曲线上,所以=1,即a2=9.因为A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分.所以双曲线的焦点为(0,-9),(0,9).a2+b2=81,所以b2=72.此双曲线的标准方程为-=1.答案:-=112.(2015贵阳监测)已知点P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)左支上一点,F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是.解析:由题意可知,ON为△PF1F2的中位线,所以PF1∥ON,所以tan∠PF1F2=tan∠NOF2=kON=,所以解得又|PF2|-|PF1|=2a,所以2b-2a=2a,b=2a,c==a,e==.答案:13.(2016大连双基测试)已知离心率e=的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,若△AOF的面积为4,则a的值为.解析:因为e==,所以=,==,设|AF|=m,则|OA|=2m,S△AOF=·m·2m=4,所以m=2,由勾...
