第三篇导数及其应用第1节导数的概念与计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,9,11导数的几何意义3,4,5,6,7,8,10导数的综合12,13,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016莆田模拟)已知f(x)=lnx,则f′(e)的值为(D)(A)1(B)-1(C)e(D)解析:因为f(x)=lnx,所以f′(x)=,则f′(e)=.2.(2016榆林模拟)函数y=x2sinx的导数为(A)(A)y′=2xsinx+x2cosx(B)y′=2xsinx-x2cosx(C)y′=x2sinx+2xcosx(D)y′=x2sinx-2xcosx解析:y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.3.(2016山西大学附中模拟)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)(A)e2(B)2e2(C)4e2(D)e2解析:曲线y=在点(4,e2)处的切线斜率为k=e2,切线为y-e2=e2(x-4),令x=0,y=-e2,令y=0得x=2,所以S=e2.4.(2016北京房山模拟)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于(A)(A)(B)3(C)4(D)5解析:直线过点(0,3),(4,5),所以直线斜率k=,即f′(4)=.5.(2016成都模拟)函数f(x)=2lnx+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是(B)(A)2(B)2(C)(D)1解析:因为f(x)=2lnx+x2-bx+a,所以f′(x)=+2x-b,所以k=f′(b)=+2b-b=+b≥2,当且仅当=b时取等号,即b=时,k取得最小值2.6.设曲线y=在点（,1）处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于(A)(A)-2(B)1(C)-1(D)2解析:因为y′==,所以y′=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.(2015三明质检)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(D)(A)[0,)(B)[,)(C)(,](D)[,π)解析:函数导数y′==-4×,因为ex+≥2,所以y′∈[-1,0),所以α∈[π,π).8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为.解析:设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4x⇒0=1,所以y0=2,所以切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.已知函数f(x)=sinx+cosx,且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则=.解析:f′(x)=cosx-sinx,由f′(x)=2f(x)得-cosx=3sinx,即tanx=-.====.答案:10.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,所以当x=2时,y′=-1,y=,所以斜率最小的切线过(2,),斜率为-1,所以切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,所以tanα≥-1,所以α∈[0,)∪[,π).能力提升练(时间:15分钟)11.设曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为(C)解析:根据题意得g(x)=cosx,所以y=x2g(x)=x2cosx为偶函数.又x=0时,y=0.故选C.12.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是(C)(A)y=2x-1(B)y=x(C)y=3x-2(D)y=-2x+3解析:令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.13.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:f′(x)=x-a+.因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以x+-a=0有解,所以a=x+≥2.答案:[2,+∞)14.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数a,b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是.解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得(,5)为所求范围.答案:(,5)15.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.解:(1)f′(x)=a-,于是解得或因a,b∈Z,故f(x)=x+.(2)在曲线上任取一点(x0,x0+).由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=[1-](x-x0).令x=1得y=,即切线与直线x=1交点为(1,).令y=x,得y=2x0-1,即切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围成的三角形的面积为|-1||2x0-1-1|=|||2x0-2|=2.所以,所围成的三角形的面积为定值2.精彩5分钟1.已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是(B...
