3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝>0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝，(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．[问题1]已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为________．答案－2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－απ－απ＋α2π－α－αsin－sinαsinα－sinα－sinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαsinα[问题2]cos＋tan＋sin21π的值为________．答案－3．三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点)；(2)对称轴：y＝sinx，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z；对称中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，，k∈Z；y＝tanx，，k∈Z.(3)单调区间：y＝sinx的增区间：(k∈Z)，减区间：(k∈Z)；y＝cosx的增区间：(k∈Z)，减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；y＝tanx的增区间：(k∈Z)．(4)周期性与奇偶性：y＝sinx的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cosx的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tanx的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误：(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为.[问题3]函数y＝sin的递减区间是________．答案(k∈Z)．4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ――→sin2α＝2sinαcosα.cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ――→cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan(α±β)＝.cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]．α＋＝(α＋β)－，α＝－.[问题4]已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.答案－5．解三角形(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中A>B⇔sinA>sinB.(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5]在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，则B＝________.答案45°6．向量的平行与垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6]下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是________．答案④7．向量的数量积|a|2＝a2＝a·a，a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，cosθ＝＝，a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝.注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；〈a，b〉为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7]已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________．答案8．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．[问题8]下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确命题是...
