立体几何(推荐时间：70分钟)1．如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG.且AC＝1，AB＝ED＝EF＝2，AD＝DG＝4.(1)求证：BE⊥平面DEFG；(2)求证：BF∥平面ACGD；(3)求二面角F－BC－A的余弦值．(1)证明 平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE.又 AB＝DE，∴四边形ADEB为平行四边形，∴BE∥AD. AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面DEFG.(2)证明设DG的中点为M，连接AM，MF，则DM＝DG＝2， EF＝2，EF∥DG，∴四边形DEFM是平行四边形，∴MF＝DE且MF∥DE，由(1)知，ADEB为平行四边形，∴AB＝DE且AB∥DE，∴AB＝MF且AB∥MF，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM，又BF⊄平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(3)解由已知，AD，DE，DG两两垂直，建立如图的空间坐标系，则A(0,0,4)，B(2,0,4)，C(0,1,4)，F(2,2,0)，∴BF＝(0,2，－4)，BC＝(－2,1,0)，设平面FBC的法向量为n＝(x，y，z)，则，令z＝1，则n＝(1,2,1)，而平面ABC的法向量m＝DA＝(0,0,4)，∴cos〈m，n〉＝＝＝.由图形可知，二面角F－BC－A的余弦值为－.2．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，CD⊥AB，D为垂足．沿CD将△ABC对折，连接A、B，使得AB＝.(1)对折后，在线段AB上是否存在点E，使CE⊥AD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由；(2)对折后，求二面角B－AC－D的正切值．解(1)在线段AB上存在点E，使CE⊥AD.由等腰直角△ABC可知，对折后，CD⊥AD，CD⊥BD，AD＝BD＝1.在△ABD中，cos∠ADB＝＝＝－，∴∠ADB＝120°，∠BAD＝∠ABD＝30°.过D作AB的垂线，与AB交于点E，点E就是满足条件的唯一点．证明如下：连接CE. AD⊥DE，AD⊥CD，DE∩CD＝D，∴AD⊥平面CDE，∴AD⊥CE，即在线段AB上存在点E，使CE⊥AD.在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝1，得AE＝＝＝.(2)对折后，作DF⊥AC于F，连接EF， CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ADB，∴平面ACD⊥平面ADB. DE⊥AD，且平面ACD∩平面ADB＝AD，∴DE⊥平面ACD.∴DE⊥DF.而DF⊥AC，所以AC⊥平面DEF，即∠DFE为二面角B－AC－D的平面角．在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝1，得DE＝ADtan∠DAE＝1×＝，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AD＝1，得FD＝ADsin∠DAF＝1×＝.在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，tan∠DFE＝＝＝，即二面角B－AC－D的正切值为.(第(2)问也可用向量法)3．三棱柱ABC－A1B1C1中，A1－AC－B是直二面角，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且∠ABC＝90°，O为AC的中点．(1)若E是BC1的中点，求证：OE∥平面A1AB；(2)求二面角A－A1B－C1的余弦值．(1)证明如图1所示，取BC的中点F，连接OF，EF，则OF∥AB，EF∥BB1.又OF∩EF＝F，AB∩BB1＝B，∴平面OEF∥平面A1AB，又OE⊂平面OEF，∴OE∥平面A1AB.图1图2(2)解如图2所示，连接A1O，BO， A1A＝A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC.由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，∴A1O⊥平面ABC. AB＝BC，∴BO⊥OC.∴OB、OC、OA1两两垂直．以O为原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，A1A＝A1C＝AC＝2，又AB＝BC，AB⊥BC，∴OB＝AC＝1，∴各相关点的坐标为：O(0,0,0)，A(0，－1,0)，A1(0,0，)，C(0,1,0)，C1(0,2，)，B(1,0,0)．∴AA1＝(0,1，)，AB＝(1,1,0)，A1B＝(1,0，－)，A1C1＝(0,2,0)．设平面AA1B的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇔令y＝1，得x＝－1，z＝－，∴n＝.设平面A1BC1的一个法向量为m＝(a，b，c)，则∴令c＝，则a＝3，得m＝(3,0，)． cos〈m，n〉＝＝＝－，结合图形可知，二面角A－A1B－C1的平面角是钝角，∴二面角A－A1B－C1的余弦值为－.4．已知直角梯形ABCD与等腰直角△APB所在平面互相垂直，AD∥BC，∠APB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝2，E为PB的中点．(1)求证：直线AE∥平面PCD；(2)求平面PCD与平面PAB所成角的正弦值．(1)证明如图1取PC的中点F，连接EF、DF.在△PBC中，PE＝EB，PF＝FC，所以EF綊BC，又AD綊BC，所以EF綊AD，故四边形AEFD为平行四边形，所以AE∥DF，又因为AE⊄面PCD，DF⊂面PCD，所以AE∥平面PCD.图1图2(2)解如图2，取AB的中点O，CD的中点Q，连接OP，OQ.在△APB中，AP＝PB，OA＝OB，∠APB＝90°，所以PO⊥...
