五年级.几何.五大模型五大模型(二)知识框架一、等积模型DCBA①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACDBCDSS△△;反之,如果ACDBCDSS△△,则可知直线AB平行于CD.④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.二、共角定理(鸟头定理)两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.:():()ABCADESSABACADAE△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.五年级.几何.五大模型S4S3S2S1ODCBA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):①2213::SSab②221324::::::SSSSababab;③S的对应份数为2ab.ABCDObaS3S2S1S4四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型GFEABCDABCDEFG①ADAEDEAFABACBCAG;②22:ADEABCSSAFAG△△:.所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五年级.几何.五大模型五、共边定理(燕尾定理)有一条公共边的三角形叫做共边三角形。共边定理:设直线AB与PQ交于点M,则SPMPABSQMQAB特殊情况:当PQ∥AB时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB例题精讲一、三角形相似模型【例1】图30-10是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米.问:阴影部分的面积是多少平方厘米?101010五年级.几何.五大模型【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】如下图所示,为了方便所叙,将某些点标上字母,并连接BG.DCBAGxxxx101010设△AEG的面积为x,显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x,则△ABF的面积为3x,120101002ABFS即1003x,那么正方形内空白部分的面积为40043x.所以原题中阴影部分面积为400800202033(平方厘米).【答案】8003。【巩固】如图,四边形ABCD和EFGH都是平行四边形,四边形ABCD的面积是16,:3:1BGGC,则四边形EFGH的面积________.HGFEDCBA【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空【解析】因为FGHE为平行四边形,所以//ECAG,所以AGCE为平行四边形.:3:1BGGC,那么:1:4GCBC,所以1116444AGCEABCDSS.又AEGC,所以::1:3AEBGGCBG,根据沙漏模型,::3:1FGAFBGAE,所以334344FGHEAGCESS.【答案】3。【例2】已知三角形ABC的面积为a,:2:1AFFC,E是BD的中点,且EF∥BC,交CD于G,求阴影部分的面积.五年级.几何.五大模型ABCDEGF【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】已知:2:1AFFC,且EF∥BC,利用相似三角形性质可知::2:3EFBCAFAC,所以23EFBC,且:4:9AEFABCSS.又因为E是BD的中点,所以EG是三角形DBC的中位线,那么12EGBC,12::3:423EGEF,所以:1:4GFEF,可得:1:8CFGAFESS,所以:1:18CFGABCSS,那么18CFGaS.【答案】18a。【巩固】图中ABCD是边长为12cm的正方形,从G到正方形顶点C、D连成一个三角形,已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少?ABCDEFGNMABCDEFG【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】根据题中条件,可以直接判断出EF与D...