v1.0可编辑可修改11数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义：为常数，aaddaandnnn111()等差中项：，，成等差数列xAyAxy2前项和nSaannanndnn11212性质：是等差数列an（）若，则；1mnpqaaaamnpq（）数列，，仍为等差数列；2212aakabnnnSSSSSnnnnn，，⋯⋯仍为等差数列；232（）若三个数成等差数列，可设为，，；3adaad（）若，是等差数列，为前项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52aSanbnabnnn0的二次函数）SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000当，，由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000如：等差数列，，，，则aSaaaSnnnnnn1831123（由，∴aaaaannnnn12113331又·，∴Saaaa31322233113v1.0可编辑可修改22∴·Saanaannnnn12122131218n27）二、等比数列的定义与性质定义：（为常数，），aaqqqaaqnnnn1110等比中项：、、成等比数列，或xGyGxyGxy2前项和：（要注意）nSnaqaqqqnn111111()()!性质：是等比数列an（）若，则··1mnpqaaaamnpq（），，⋯⋯仍为等比数列2232SSSSSnnnnn三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、nnaS求由；（时，，时，）naSnaSSnnn121113、求差（商）法如：满足⋯⋯aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，，∴naaannn2121212215212211时，⋯⋯12122得：nna，∴ann21，∴annnn141221()()［练习］数列满足，，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSSnnnnn1114v1.0可编辑可修改33又，∴是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时，⋯⋯·4、叠乘法例如：数列中，，，求aaaannannnn1131解：aaaaaannaannnn213211122311·⋯⋯·⋯⋯，∴又，∴aann1335、等差型递推公式由，，求，用迭加法aafnaaannn110()naafaafaafnnn22321321时，⋯⋯⋯⋯两边相加，得：()()()aafffnn123()()()⋯⋯∴⋯⋯aafffnn023()()()［练习］数列，，，求aaaanannnnn111132（）ann12316、等比型递推公式acadcdccdnn1010、为常数，，，可转化为等比数列，设axcaxnn1acacxnn11令，∴()cxdxdc11∴是首项为，为公比的等比数列adcadccn111v1.0可编辑可修改44∴·adcadccnn1111∴aadccdcnn1111［练习］数列满足，，求aaaaannnn11934（）ann843117、倒数法例如：，，求aaaaannnn11122，由已知得：1221211aaaannnn∴11121aann，111121aan为等差数列，，公差为11112121annn·，∴ann21三、求数列前n项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为的等差数列，求adaankkkn111解：由·11111011aaaaddaadkkkkkk∴11111111aadaakkknkkkn11111111111223111daaaaaadaannn⋯⋯［练习］v1.0可编辑可修改55求和：⋯⋯⋯⋯111211231123n（⋯⋯⋯⋯，）aSnnn2113、错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项ababnnnnn和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn如：⋯⋯Sxxxnxnn12341231xSxxxxnxnxnnn·⋯⋯234122341121121：⋯⋯xSxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnnnn112312时，⋯⋯4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121⋯⋯⋯⋯相加21211Saaaaaannnn⋯⋯⋯⋯［练习］已知，则fxxxfffffff()()()()()2211212313414（由fxfxxxxxxxx()1111111112222222∴原式fffffff()()()()121231341412111312）v1.0可编辑可修改66例1设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（）A．128B．80C．64D．56（福建卷第3题）略解： a2+a7=a1+a8=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．例2已知等比数列{}na满足122336aaaa，，则7a（）A．64B．81C．128D．243（全国Ⅰ卷第7题）答案：A．例3已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前5项和等于（）A．30B．45C．90D．186（北京卷第7题）略解： a5-a2=3d=9，∴d=3，b1=26a，b5=a10=30，nb的前5项和等于90，故答案是C．例4记等差数列的前n项和为nS，若244,20SS，则该数列的公差d（）A．2B．3C．6D．7（广东卷第4题）略解： 422412,3SSSdd,...
