中值定理的分析性质研究【文献综述】VIP免费

毕业论文文献综述数学与应用数学中值定理的分析性质研究一、前言部分微分中值定理是微分学的基本定理之一，研究函数的有力工具．微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义．以拉格朗日(Lagrange)微分中值定理为例，它的几何意义：一个在[,]ab上连续，在(,)ab内可微的曲线段()fx，必有(,)ab，曲线在点(,())f的切线平行于连接点(,())afa与(,())bfb的割线．它的运动学意义：设f是质点的运动规律，则质点在时间区间[,]ab上走过的路程为()()fbfa，在(,)ab上的平均速度为()()fbfaba，存在(,)ab的某一时刻，质点在的瞬时速度恰好是它的平均速度．人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了．它首先是法国著名的数学家费马于1637年给出了费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理．1691年，法国数学家罗尔(Rolle)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理．1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明．对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西(Cauchy)，他首先赋以中值定理重要的作用，使其成为微分学的核心定理，并给出了广义的中值定理—柯西定理.二、主题部分一、微分中值定理产生的历史文献[1]和[2]中说到了微积分学简史，费马对微积分作出过重要的贡献．他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理．所谓的虚拟等式法，用现代语言来说，对于函数()fx，让自变量从x变化到xe，当()fx为极值时，()fx和()fxe的差近似为0，用e除虚拟等式，()()0fxefxe，然后让0e，就得到函数极值点的导数值为0，这就是费马定理：函数()fx在0xx处取极值，并且可导，则'0()0fx．应该指出：费马给出以上结论，微积分还处于初创阶段，并没有明确导数，极限连续的概念，用现代眼光来看，其论断也是不严格的．现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的．罗尔在1691年发表的论著《方程的解法》给出了“在多项式10110nnnnaxaxaxaL的两个相邻根中，方程12011(1)0nnnnaxnaxaL至少有一个实根．”正好是定理的一个特例，这也是此定理成为罗尔定理的原因.罗尔当时提出这个结论，主要是针对多项式函数，现在看到的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明，并把它推广为一般函数．“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什(Drobisch)在1834年给出，并由意大利数学家贝拉维蒂斯(Bellavitis)在1846年发表的论文中正式使用的．文献[1]-[5]中都涉及到了中值定理的基本概念.拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理．它是指：“()fx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导，则存在一点(,)ab，使'()()()fbfafba．”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的，它最初形式为：“函数()fx在0x和x之间连续，'()fx的最大值为A，最小值为B，则00()()fxfxxx必取A，B之间一个值．”柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广．它是指：设()fx和()gx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导，并且'()0gx，()()gagb，则至少存在一点(,)ab，使''()()()()()()fbfafgbgag柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似．微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位．例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明，并研究泰勒公式的余项．从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分．二、微分中值定理中间点的分析性质2.1Lagrange中值定理中间点的渐进性及其分析性质在一元函数微分学中，拉格朗日中值定理是核心,因此对Lagrange中值点的研究就成了一项重要内容．Lagrange中值定理只断言的存在性．至少有一个，但可能不止一个，除了对一些比较简单的函数，无法指明这种点的确切位置．文献[6]中有了下面的结论：结论1.若函数()fx满足下列条件：在[,]ab上连续；在(,)ab内存在二阶导数；(,)xab，''()0fx；则在(,)ab内存在唯一一点，使得'()()()fbfafba．结论2.若函数()fx满足下列条件：在[,]ab上连续；在(,)ab内可导，且在(,)ab的任何子区间上为非线性函数；方程()()()()()0fbfafxxafaba在(,)ab内恰有1n个根；则在(,)ab内存在()mmn个点使得'()()()fbfafba...