n阶矩阵可对角化的条件 数学与应用数学专业VIP专享VIP免费

第1页共20页n阶矩阵可对角化的条件摘要：矩阵是一个重要的代数原理也是对代数的研究的核心。同时它也是高等代数里面的一个基本概念。对角矩阵在理论研究以及对矩阵的相关性质的概括中来说非常重要。本文是关于矩阵可对角化问题的初步研究。首先介绍对角矩阵的定义，矩阵有着如有它的特征值、它的特征向量还有它的矩阵可以进行对角化等概念。在对n阶的矩阵进行对角化的时候，要对它的条件进行归纳还有总结，从而得到其可以对角化的相关条件和常用方法，如最小多项式的方法，辅之典型例题来加深对定理的认识。后面给出了两种判断n阶矩阵是否可对角化的步骤，一种是通过求解矩阵的特征根对应的基础解析所含解向量的个数是否等于特征根的重数来进行判断。另一种则是对矩阵进行一系列的相似变换后化为对角矩阵。后者为矩阵对角化问题中求得特征值、特征向量,求可逆矩阵,使其对角化,提供了简便,快捷的方法。关键词：对角矩阵,矩阵对角化,特征值,特征向量Abstract:MatrixisanimportantbasicconceptinHigherAlgebraandamainresearchobjectofalgebra.Asaspecialkindofmatrix,diagonalmatrixisofgreatsignificanceintheoreticalresearchandmatrixpropertygeneralization.Thispaperisapre第2页共20页liminarystudyonthediagonalizationofn-ordermatrices.Firstly,thedefinitionofdiagonalmatrix,matrixeigenvalue,eigenvectorandtheconceptofdiagonalizationofmatrixareintroduced.Then,theconditionsofdiagonalizationofn-ordermatrixaresummarized,andthecommonsufficientandnecessaryconditionsofdiagonalizationofmatrixandtheminimumpolynomialmethodareobtained,supplementedbytypicalexamplestodeepentheunderstandingofthetheorem.Twostepstojudgewhetherann-ordermatrixcanbediagonalizedaregiven.Oneistodeterminewhetherthenumberofsolutionvectorscontainedinthebasicanalysiscorrespondingtotheeigenvalueofthematrixisequaltothemultiplicityoftheeigenvalue.Theotheristotransformthematrixintodiagonalmatrixafteraseriesofsimilartransformations.Thelatterprovidesasimpleandquickmethodforfindingtheeigenvaluesandeigenvectors,findingtheinvertiblematrixanddiagonalizingit.Keywords：Diagonalmatrix,Matrixdiagonalization,Eigenvalue,Eigenvector第3页共20页矩阵作为一个重要的概念，其在高等代数里的地位是不能低估的。与此同时，它也是一种用来研究许多数学分支的重要的工具。作为一种特殊的矩阵，对角矩阵的形状可以说的上简单，所以研究很方便。研究矩阵的对角化和其理论含义也是有意义的。将矩阵对角化，就是给出了一个矩阵更简单的相似的等价矩阵。他们拥有很多一样的性质，如特征根。这时根据他们相同的性质，我们可以看成他们之间没有区别，此时若是需要研究一个可以对角化的矩阵，就只需要研究它的另一个标准化的矩阵。对角矩阵作为最简单的一种矩阵类型研究起来非常方便。矩阵的一个非常重要的特点就是线性代数中的矩阵是否能进行相应的对角化，。矩阵对角化现象及其理论是在高等代数和线性代数中最重要的核心内容。人们从这项研究中得出了许多有用的发现和结论。比如一些充分和必要条件：是否有n个线性无关的特征向量是一个n阶方阵A能够进行对角化的充分必要条件；方阵A可以对角化的必须满足它的最小多项式没有重根等，除此之外还有其他的充分条件。本课题旨在于前人研究的基础上，由查阅相关资料和重要的参考文献等，给出对应的证明过程来总结和归纳对角化的条件。第4页共20页1.准备知识1.1对角矩阵定义1我们把一个除了对角线之外的数字全为0的矩阵称作对角矩阵，对角线上的数字不做特别规定。其形状为,简记为1.2矩阵的特征值、特征向量的概念定义2若A是一个n阶矩阵，对于存在数λ与n维非零向量ε，有Aε=λε成立，就称数λ为方阵A的一个特征值，非零向量ε称为方阵A的关于特征值λ的一个特征向量。若将关系式Aε=λε改写为该齐次线性方程组是由n个未知数n个方程组成的.它有非零解的充要条件是。该关系式是一个以为变量的一个一元n次方程，这就是方阵A...