第1页共35页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共35页第3章平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。3.1方法性工具3.1.1差分运算一、p阶差分记为的1阶差分：记为的2阶差分：以此类推：记为的p阶差分：二、k步差分记为的k步差分：3.1.2延迟算子一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B为延迟算子，有延迟算子的性质：1.2.若c为任一常数，有3.对任意俩个序列{}和{}，有4.5.二、用延迟算子表示差分运算1、p阶差分2、k步差分3.2ARMA模型的性质3.2.1AR模型定义具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p):xt−1=Bxtxt−2=B2xt⋮xt−p=BPxt第2页共35页第1页共35页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共35页(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p。条件二：。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列为零均值白噪声序列。条件三：。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。通常把AR(p)模型简记为：(3.5)当时，自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。令则{}为{}的中心化序列。AR(p)模型又可以记为：，其中称为p阶自回归系数多项式二、AR模型平稳性判断P45【例3.1】考察如下四个AR模型的平稳性：拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳1、特征根判别任一个中心化AR(p)模型都可以视为一个非齐次线性差分方程。则其齐次线性方程的特征方程为：第3页共35页第2页共35页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共35页设为齐次线性方程的p个特征根。所以AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内。同时等价于：AR模型的自回归系数多项式的根，即的根，都在单位圆外。证明：设为齐次线性方程的p个特征根，任取，带入特征方程：把带入中，有根据这个性质，可以因子分解成：，于是可以得到非其次线性方程的一个特解：2、平稳域判别使得特征方程的所有特征根都在单位圆内的系数集合被称为AR(p)模型的平稳域。(1)AR(1)模型的平稳域AR(1)模型为：，其特征方程为：，特征根为：。则AR（1）模型平稳的充要条件是,则AR(1)模型的平稳域是(2)AR(2)模型的平稳域AR(2)模型为：。其特征方程为：，特征根为：。则AR（2）模型平稳的充要条件是：，从而有：第4页共35页第3页共35页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共35页因此可以导出：所以AR(2)模型的平稳域：【例3.1续】分别用特征根判别法和平稳域判别法检验如下四个AR模型的平稳性：其中三、平稳AR模型的统计性质1、均值假如AR(p)满足了平稳性条件，于是(3.12)由平稳序列均值为常数的性质得：，因为，所以(3.12)等价于模型特征根判别平稳域判别结论1)平稳2)非平稳3)平稳4)非平稳11,21，且|φ2|=0.5,φ1+φ2=1.5,φ2−φ1=−0.5第5页共35页第4页共35页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共35页特别对于中心化AR(p)模型有。2、方差(1)Green函数。设为平稳AR(p)模型的特征根，则平稳AR(p)模型可以写成：(3.13)其中，系数称为Green函数。记，则(3.13)简记为：(3.14)再将(3.14)带入AR(p)模型中，得到Green函数的递推公式为：其中(2)平稳AR模型的方差。对平稳AR模型两边就方差，有由于，这说明平稳序列方差有界，等于常数【例3.2】求平稳AR(1)模型的方差。AR(1)模型：第6页共35页第5页共35页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第6页共35页Green函数为：，所以平稳AR(1)模型的方差为：3、协方差函数在平稳模型等号两边同时乘，再求期望，得又由，，可以得到自协方差函数的递推公式：(3.17)【例3.3】求平稳AR(1)模型的自协方差函数。平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：又由【例3.2】知，，所以平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式...
