第5章大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量)(E，方差2)(D，则由切比雪夫不等式有}|{|3P91.2.设n,,,21是n个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(niDEii218对于niin1，写出所满足的切彼雪夫不等式228nDP)(}|{|，并估计}|{|4Pn211.3.设随机变量129,,,XXXL相互独立且同分布,而且有1iEX,1(1,2,,9)iDXiL,令91iiXX,则对任意给定的0,由切比雪夫不等式直接可得9XP291.解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：()EX与2()DX都存在,则对任意给定的0,有22{||}PX,或者22{||}1.PX由于随机变量129,,,XXXL相互独立且同分布,而且有1,1(1,2,9),iiEXDXiL所以999111()()19,iiiiiEXEXEX9992111()()19.iiiiiDXDXDX4.设随机变量X满足：2(),()EXDX,则由切比雪夫不等式,有{||4}PX116.解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足2(),()EXDX,则对任意的0,有22{||}.PX由此得221{||4}.(4)16PX5、设随机变量2)(,)(,DE，则}|{|2P43.6、设n,,,21为相互独立的随机变量序列，且),,(21ii服从参数为的泊松分布，则}{limxnnPniin1xtdte2221.7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则}{baPn)1()1(2221pnpnpbpnpnpatdte.8.设随机变量n,服从二项分布(,)Bnp,其中01,1,2,pnL,那么,对于任一实数x,有lim{|||}nnPnpx0.9.设12,,,nXXXL为随机变量序列,a为常数,则{}nX依概率收敛于a是指aXPnnlim,01,或aXPnnlim,00。10.设供电站电网有100盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率皆为.假设每盏灯开关是相互独立的,若随机变量X为100盏灯中开着的灯数,则由切比雪夫不等式估计,X落在75至85之间的概率不小于259.解：()80,()16EXDX,于是169(7585)(|80|5)1.2525PXPX二．计算题：1、在每次试验中，事件A发生的概率为，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.解：设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则250)(,500)(XDXE}50|500{|}550450{XPXP9.02500250150)(1}50|)({|2XDXEXP2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间,每台交换机能清晰接受信号的概率为.系统正常工作时,要求能清晰接受信号的交换机至少45台.求该通信系统能正常工作的概率.解：设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数,则~(50,0.90).XB由此P(通信系统能正常工作)(4550)PX45500.9500.950500.9500.90.1500.90.1500.90.1XP(2.36)(0)0.99090.50.4909.3、某微机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数~(120,0.05),6,5.bnpnpq7由棣莫弗－拉普拉斯定理知106{10}11(1.67)0.0475.5.7P4、某校共有4900个学生,已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为,问阅览室要准备多少个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为,要准备k个座位.~(,),4900,0.1,49000.1490,bnpnpnpnpq49000.10.944121.04900490{0}2121knpnpkPknpqnpq490490(23.23)0.99.2121kk查(0,1)N分布表可得4902.3263,212.3263490538.852321kk539.要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。解：设?表示六颗骰子出现的点数总和。?i，表示第i颗骰子出现的点数，i=1，2，⋯，6?1，?2，⋯，?6相互独立，显然ii16235211235449621612765432161222DEDEii12339Epp131Ep9.03383511691D6.设随机变量n,,,21相互独立，且均服从指数分布0000xxexfx)(为使10095101111nkknP，问：n的最小值应如何解:EDkk112,21211111,11nDnnDnEnkknkknkk由切比雪夫不等式得101111nkknP,1009510111101112211nnEnPnkknkk即110095100nn,从而n?2000，故n的最小值是20007．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到解：设n为至少应取的产品数，X是其中的次品数，则)1.0,(~nbX，9.0}10{XP，而9.0}9.01.01.0109.01.01.0{nnnnXP所以1.0}09.01.0109.01.01.0{nnnnXP由中...
