初中数学最短路径问题总结一、十二个基本问题概述问题一：在直线l上求一点P，使得PA+PB值最小.作法：连接AB，与直线l的交点即为P点.原理：两点之间线段最短.PA+PB最小值为AB.问题二：（“将军饮马问题”）在直线l上求一点P，使得PA+PB值最小.作法：作点B关于直线l的对称点B＇，连接AB'与l的交点即为点P．原理：两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB'.问题三：在直线l1、l2上分别求点M、N，使得△PMN的周长最小．作法：分别作点P关于两条直线的对称点P'和P''，连接P'P''，与两条直线的交点即为点M，N．原理：两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P'P''的长．问题四：在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．作法：分别作点Q、P关于直线l1、l2的对称点Q'和P'连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N.原理：两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段Q'P'+PQ的长．问题五：（“造桥选址问题”）直线m∥n，在m、n上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小．作法：将点A向下平移MN的长度单位得A'，连接A'B，交n于点N，过N作NM⊥m于M.原理：两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为A'B+MN.问题六：在直线l上求两点M,N（M在左），使MN=a,并使AM+MN+NB的值最小.作法：将点A向右平移a个长度单位得A'，作A'关于直线l的对称点A''，连接A''B交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M.原理：两点之间线段最短.AM+MN+NB的最小值为A''B+MN.问题七：在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小.作法：作点P关于l1的对称点P'，作P'B⊥l2于点B，交l1于点A.原理：点到直线，垂线段的距离最短.PA+AB的最小值为线段P'B的长.问题八：A为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小.作法：作点A关于l2的对称点A',点B关于l1的对称点B'，连接A'B'交l2于点M，交l1于点N．原理：两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A'B'的长．问题九：在直线l上求一点P，使|PA-PB|的值最小．作法：连接AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P点．原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．|PA-PB|=0.问题十：在直线l上求一点P，使|PA-PB|的值最大．作法：作直线AB，与直线l的交点即为P点．原理：三角形任意两边之差小于第三边．|PA-PB|≤AB，|PA-PB|的最大值=AB.问题十一：在直线l上求一点P，使|PA-PB|的值最大．作法：作点B关于直线l的对称点B'作直线AB'，与直线l的交点即为P点．原理：三角形任意两边之差小于第三边．|PA-PB|≤AB'，|PA-PB|的最大值=AB'.问题十二：（“费马点”）△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使得PA+PB+PC的值最小.作法：所求点为“费马点”，即满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°.以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连接CD、BE相交于点P，点P即为所求.原理：两点之间线段最短.PA+PB+PC的最小值=CD.二、“费马点”——到三点距离之和最小的点费马点的构造方法：①所给三点的连线构成三角形（△ABC），并且这个三角形的每个内角都小于120°；②如下图所示：A,B,C是给定的三点，以AC为边向外作正三角形得到点D,以BC为边向外作正三角形得到点E,连接BD和AE交于点O，我们断言点O就是“费马点”.费马点的证明方法：先证△AEC≌△DBC.△AEC绕点C顺时针旋转60°，可得到△DBC，从而△AEC≌△DBC.于是∠OBC=∠OEC，所以O、B、E、C四点共圆.拓展知识：四点共圆判定方法若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆.所以∠BOE=∠BCE=60°，∠COE=∠CBE=60°，于是∠BOC=∠BOE+∠COE=120°，同理可证∠AOC=∠AOB=120°，所以∠BOC=∠AOC=∠AOB=120°.将O点看作是AE上的点，随着△AEC一起绕点C顺时针旋转60°得到点O2,所以∠OCO2=60°，OC=O2C,OA=O2D,所以△OCO2是等边三角形，于是有OO2=OC.所以BD=OA+OB+OC.
