1/8常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差【知识要点】一、离散型随机变量及其分布列1、随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。长用希腊字母，来表示。若是随机变量，ba，其中ba，是常数，则也是随机变量。2、离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。3、离散型随机变量的分布列（1）若离散型随机变量X可能取的不同值为nixxxx，，，，，21，X取每一个值)21(nixi，，，的概率iipxXP)(，以表格的形式表示如下：X1x2xixnxP1p1pipnp此表称为离散型随机变量X的分布列，简称X的分布列。有时为了表达简单，也用等式iipxXP)(，ni，，，21，表示X的分布列。（2）性质：①nipi，，，，210；②11niip；③在某个范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率的总和。4、常见离散型随机变量（1）两点分布若随机变量X的分布列是X01P1-pp则这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X的分布列为两点分布列，就2/8称X服从两点分布（也称伯努利分布），而称)1(xPp为成功概率。其EX=p，DX=p(1-p).（2）超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为mkCCCXPnNknMNkM，，，，，210)k(，其中}min{nMm，，且NNMnNMNn、、，，，称分布列X01mPnNnMNMCCC00nNnMNMCCC11nNmnMNmMCCC为超几何分布列。如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布。记作：1)1()(?NnNNMNnMDXNnMEXnMNHX，，其，，—。【例题1—1】一次数学摸底考试，某班60名同学的成绩的频率分布直方图如图所示，若得分90分以上为及格。从该班任取一位同学，其分数是否及格记为，求的分布列。解：【例题1—2】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，用X表示其中的男生人数，求X的分布列。解：分数频率组距0.020.010.0025150130110907050O3/8二、离散型随机变量的均值与方差1、均值若离散型随机变量的分布列为1x2xnxP1p1pnp则的数学期望（或平均数、均值，简称期望）为2211pxpxEnnpx，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。均值的性质：①EC=C（C为常数）；②)()(为常数，babaEbaE；③2121)(EEE；④如果21，相互独立，那么）（）2121()(EEE??。2、方差如果离散型随机变量所有可能取的值是，，，，nxxx21，且取这些值的概率分别是，，，，nppp21，那么?nnpExpExpExD2222121)()()(叫做的方差。D的算术平方根D叫做随机变量的标准差。记作：。它们都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。方差的性质：：①22)(EED；②)()(2为常数，baDabaD?【例题2—1】已知离散型随机变量X的分布列如下表。若EX=0，DX=1，则a=，b=。X1012Pabc121【例题2—2】随机变量的分布列如下：101Pabc4/8其中a，b，c成等差数列，若31E，则D。【方法规律】一、离散型随机变量分布列的性质【例题1】（1）设随机变量的分布列为)321()32()(，，kmkPk，则m的值为。（2）设随机变量的分布列为)54321()5(，，，，kakkP，则常数a的值为，)53(P。二、离散型随机变量的分布列、均值与方差【例题2】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位演出顺序（序号为1,，2，⋯，6）求：（1）甲，乙两单位的演出序号至少有一个奇数的概率；（2）甲，乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。解：【例题3】某饮料公司招聘了一名员工，先对其进行一项测试，以便确定工资级别。公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料。若4杯都选对，则月工资定为2800元；否则，月工资定为2100元。令X表示此人选对A饮料的杯数。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力。（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望。解：5/8【例题4】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分。现从该箱中任取（无放回，且每求取到的机会相等）3个求，记随机变量X为取...
