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2024-2024年小学奥数07数列问题VIP免费

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1.5数列问题1.5.1相关概念按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,a(n+1),…简记为{an}。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。最后一个数叫末项。通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。1.5.2等差数列1.5.2.1等差数列的定义假如一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差,常用字母d表示。1.5.2.2公式首项=和×2÷项数-末项a1=2sn÷n-an末项=首项+(项数-1)×公差=和×2÷项数-首项an=a1+(n-1)×d=2sn÷n-a1项数=(末项-首项)÷公差+1n=(an-a1)÷d+1和=(首项+末项)×项数÷2=首项×项数+项数×(项数-1)×公差÷2sn=(a1+an)×n/2=na1+n(n-1)d/21.5.2.3等差中项假如在a和b中间插入一个数A,使a、A、b成等差数列,那么A叫做a和b的等差中项。如a、b、c三项成等差数列,则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。1.5.2.4等差数列的性质(1)任意两项有.(2)对于任意正整数,若,则.反之不行(常数列).(3)若均是等差数列,则也是等差数列.(c、d均为自然数).1.5.3等比数列1.5.2.1等比数列的定义假如一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都相等,这个数列就叫做等比数列。前后两项的比值叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。1.5.2.2公式通项公式:.前项和公式:.1.5.2.3等比中项假如在a和b中间插入一个数G,使a、G、b成等差数列,那么G叫做a和b的等差中项。如a、G、b三项成等差数列,则(a>0,b>0取正值,a<0,b<0取负值),这是等差中项的基本性质。1.5.2.4等比数列的性质(1)任意两项有.(2)对于任意正整数,若,则.1.5.4斐波那契数列斐波那契数列因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。假如所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;两个月后,生下一对小兔民数共有两对三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对;……依次类推可以列出下表:经过月数0123456789101112幼仔对数01123581321345589144成兔对数1123581321345589144233总体对数123581321345589144233377幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点,那是:从第三项开始,每一项都等于前两项之和。通项公式为:(又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。)有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时an-1/an越来越逼近黄金分割数0.6180339887……。从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶)

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