函数值域求法的应用VIP免费

函数值域求法的应用宣汉县第二中学杜林对于函数的三要素之定义域和值域这两大要素，我们要有解决它们的办法。在上一篇文章中，我们已经学习了函数定义域的求法；下面我们来学习求函数值域的几种常见方法奎屯王新敞新疆1．直接法：先掌握常见函数的值域情况，然后通过常见函数的复合来求解值域。一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④奎屯王新敞新疆解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴奎屯王新敞新疆即函数的值域是{y|y2}奎屯王新敞新疆③∵∴即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）奎屯王新敞新疆④当x>0，∴=，当x<0时，=－奎屯王新敞新疆∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2．二次函数各区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为R时，4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x321-1-2-3654321-1-2xOy①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论奎屯王新敞新疆例3．求函数的值域方法一：去分母得(y1)+(y+5)x6y6=0①当y1时∵xR∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0奎屯王新敞新疆检验时（代入①求根）∵2定义域{x|x2且x3}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y1综上所述，函数的值域为{y|y1且y}方法二：把已知函数化为函数(x2)由此可得y1奎屯王新敞新疆∵x=2时即∴函数的值域为{y|y1且y}奎屯王新敞新疆说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1代入得∵t0∴y45．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图O12-1xO12-1xO12-1x两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的2-13xOy题用某种方法求解比较简捷，我们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法。