最值问题的求解八法VIP免费

最值问题的求解八法最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。一.配方法例1.24542522xxyyxy可取得的最小值为_________。解：原式()()()xyxy22110222由此可知，当xy21，时，有最小值10。二.设参数法例2.已知实数xy、满足xy332。则xy的最大值为________。解：设xyk，易知k0由xy332，得()()xyxxyy222从而，xykk1322()由此可知，xy、是关于t的方程tktkk221320()的两个实根。于是，有kkk224320()解得k2。故xy的最大值为2。例3.若xyz11223，则xyz222可取得的最小值为（）A.3B.5914C.92D.6解：设xyzk11223，则xkykzkxyzkkk121321410614514591422222，，()从而可知，当k514时，xyz222取得最小值5914。故选（B）。三.选主元法例4.实数xyz、、满足xyzxyyzzx5，3。则z的最大值是________。解：由xyz5得yxz5。代入xyyzzx3消去y并整理成以x为主元的二次方程xzxzz225530()()，由x为实数，则判别式0。即()()zzz5453022，整理得3101302zz解得1133z。所以，z的最大值是133。四.夹逼法例5.abc、、是非负实数，并且满足325231abcabc，。设mabc37，记x为m的最小值，y为m的最大值。则xy__________。解：由325231abcabc，得325213abcabc解得acbc73711由abc、、是非负实数，得73071100ccc从而，解得37711c。又mabcc3732，故57111m于是，xy57111,因此，xy577五.构造方程法例6.已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得xykabxykab(),。从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程tkabtkab20()的两个实数根，则kabkab2240()因为k0，所以kabab()240，解得kabab42()所以k的最小值是42abab()四.由某字母所取的最值确定代数式的最值例7.已知abc，，为整数，且abca20062005，。若ab，则abc的最大值为_________。解：由ca2005得ac2005，代入ab2006得bc4011。而由ab2006和ab可知a1002的整数。所以，当a1002时，abc取得最大值，为100240115013。七.借助几何图形法例8.函数fxxx()()22144的最小值是________。解：显然，若x0，则fxfx()()。因而，当fx()取最小值时，必然有x0。如图1，作线段AB=4，ACABDBAB,，且AC=1，BD=2。对于AB上的任一点O，令OA=x，则OCxODx22144，()。那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。图1设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时，OCODOEODDE。作EF//AB与DB的延长线交于F。在RtDEF中，易知EFABDF43，，所以，DE5。因此，函数fxxx()()22144的最小值为5。八.比较法例9.某项工程，如果有甲、乙两队承包223天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包334天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包267天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需xyz、、天完成，则115121141511720xyyzzx解得xyz4610又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付uvw、、元，则125180000154150000207160000()()()uvvwwu解得uvw455002950010500于是，由甲队单独承包，费用是455004182000（元）；由乙队单独承包，费用是295006177000（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。