八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系 第1课时 直角三角形的三边关系学案 （新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中八年级上册数学学案VIP免费

1直角三角形的三边关系第1课时探索直角三角形的三边关系课前知识管理1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：如果直角三角形的两直角边分别是，斜边是，那么.图形说明：如图，正方形A中含有_________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；正方形B中含有_________个小方格，即B的面积是_________个单位面积；正方形C中含有_________个小方格，即C的面积是_________个单位面积.由此得出正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积.即若正方形A的边长为则其面积为，正方形B的边长为，其面积为，正方形C的边长为，其面积为，由此可推出：.说明：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以上述反映直角三角形三边关系的命题通常被称为勾股定理.2、勾股定理提示了直角三角形三边之间的数理关系，是直角三角形的一个重要性质，运用勾股定理进行计算时，一要注意勾股定理的适用条件，二要注意公式的灵活变形.适用条件：勾股定理适用的前提条件是三角形；公式变形：根据公式可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.在计算时要会灵活变形，还常常与平方差公式和完全平方公式结合使用，比如：，，，.注意事项：运用勾股定理求边长，要分清斜边和直角边，若没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解.名师导学互动典例精析：知识点1：直接运用勾股定理例1、在△ABC中，∠C=90°，(1)若a=8，b=6，则c=_________；(2)若c=20，b=12，则a=_________；(3)若a∶b=3∶4，c=10，则a=_________，b=_________.【解题思路】在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.【解】根据题意可得a2+b2=c2.(1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c＞0，所以c=10；(2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=(20+12)(20－12)=32×8=162，a＞0，所以a=16；(3)若a∶b=3∶4，可设a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8.【方法归纳】综合上述解法可以发现，形(即△ABC为直角三角形)与数(a2+b2=c2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.对应练习：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=_______；（2）若a=6，c=10，则b=________.知识点2：勾股定理的简单应用例2、智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到,由向西走36厘米到,由向南走48厘米到,由向东走60厘米到,由向北走72厘米到，问:智能机器猫到达点与O点的距离是多少厘米?【解题思路】如图所示,当智能机器猫到达点时,相对O点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．【解】因=362+482,即=60．所以,点到O点的距离为60厘米．【方法归纳】应用勾股定理要注意两点：一是前提条件为直角三角形，非直角三角形的三边之间没有这样的关系；二是解题时要注意区分斜边与直角边，不可乱用.对应练习：如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A45cmB40cmC50cmD56cm知识点3：利用勾股定理求线段和例3、已知直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=，D为BC中点，E是AB上任意一点，且EF⊥AD，EP⊥BD，试确定EF+EP的值.【解题思路】由EF⊥AD，EP⊥BD，联想到连结DE，从而将三角形ABD的面积分割为两部分，通过面积相等关系确定EF+EP的值.【解】连结ED，在直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=，故有BC=；D为BC中点，所以AD=BD=.因，，，故有+=，∴EF+EP=..【方法归纳】将三角形面积巧妙的分割为若干小三角形面积，从而求得相应线段之间的关系，这里体现出“割补”的数学思想方法.对应练习：在Rt△ABC中，斜边AB=2，则=.知识点4：利用勾股定理求面积例4、如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC=24，P是∠A，∠C的平分线的交点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，求.【解题思路】显然四边形BEPD是矩形，作PF⊥AC于F，连结PB，易证，所以四边形BEPD是正方形，它的边长可由三角形的面积求得.【解】设PD=PE=PF=m，得，即由...