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八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系 第1课时 直角三角形的三边关系学案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中八年级上册数学学案VIP免费

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1直角三角形的三边关系第1课时探索直角三角形的三边关系课前知识管理1、勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言:如果直角三角形的两直角边分别是,斜边是,那么.图形说明:如图,正方形A中含有_________个小方格,即A的面积是_________个单位面积;正方形B中含有_________个小方格,即B的面积是_________个单位面积;正方形C中含有_________个小方格,即C的面积是_________个单位面积.由此得出正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积.即若正方形A的边长为则其面积为,正方形B的边长为,其面积为,正方形C的边长为,其面积为,由此可推出:.说明:我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,所以上述反映直角三角形三边关系的命题通常被称为勾股定理.2、勾股定理提示了直角三角形三边之间的数理关系,是直角三角形的一个重要性质,运用勾股定理进行计算时,一要注意勾股定理的适用条件,二要注意公式的灵活变形.适用条件:勾股定理适用的前提条件是三角形;公式变形:根据公式可知,在直角三角形中,已知任意两条边长,可求出第三条边的长.在计算时要会灵活变形,还常常与平方差公式和完全平方公式结合使用,比如:,,,.注意事项:运用勾股定理求边长,要分清斜边和直角边,若没有告诉斜边的情况下,经常有两解,勿漏解.名师导学互动典例精析:知识点1:直接运用勾股定理例1、在△ABC中,∠C=90°,(1)若a=8,b=6,则c=_________;(2)若c=20,b=12,则a=_________;(3)若a∶b=3∶4,c=10,则a=_________,b=_________.【解题思路】在△ABC中,∠C=90°,所以有关系:a2+b2=c2.在此关系式中,涉及到三个量,利用方程的思想,可“知二求一”.【解】根据题意可得a2+b2=c2.(1)若a=8,b=6,所以82+62=c2.即c2=100,c>0,所以c=10;(2)若c=20,b=12,所以a2+122=202,即a2=202-122=(20+12)(20-12)=32×8=162,a>0,所以a=16;(3)若a∶b=3∶4,可设a=3x,b=4x,所以(3x)2+(4x)2=102.化简,得9x2+16x2=100,25x2=100,x2=4,x=2(x>0),所以a=3x=6;b=4x=8.【方法归纳】综合上述解法可以发现,形(即△ABC为直角三角形)与数(a2+b2=c2)的统一,所以我们说勾股定理是形与数的结合.对应练习:在△ABC中,∠C=90°,(1)若a=3,b=4,则c=_______;(2)若a=6,c=10,则b=________.知识点2:勾股定理的简单应用例2、智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到,由向西走36厘米到,由向南走48厘米到,由向东走60厘米到,由向北走72厘米到,问:智能机器猫到达点与O点的距离是多少厘米?【解题思路】如图所示,当智能机器猫到达点时,相对O点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米.【解】因=362+482,即=60.所以,点到O点的距离为60厘米.【方法归纳】应用勾股定理要注意两点:一是前提条件为直角三角形,非直角三角形的三边之间没有这样的关系;二是解题时要注意区分斜边与直角边,不可乱用.对应练习:如图,在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为()A45cmB40cmC50cmD56cm知识点3:利用勾股定理求线段和例3、已知直角三角形ABC中,∠CAB=90°,AC=AB=,D为BC中点,E是AB上任意一点,且EF⊥AD,EP⊥BD,试确定EF+EP的值.【解题思路】由EF⊥AD,EP⊥BD,联想到连结DE,从而将三角形ABD的面积分割为两部分,通过面积相等关系确定EF+EP的值.【解】连结ED,在直角三角形ABC中,∠CAB=90°,AC=AB=,故有BC=;D为BC中点,所以AD=BD=.因,,,故有+=,∴EF+EP=..【方法归纳】将三角形面积巧妙的分割为若干小三角形面积,从而求得相应线段之间的关系,这里体现出“割补”的数学思想方法.对应练习:在Rt△ABC中,斜边AB=2,则=.知识点4:利用勾股定理求面积例4、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=7,BC=24,P是∠A,∠C的平分线的交点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,求.【解题思路】显然四边形BEPD是矩形,作PF⊥AC于F,连结PB,易证,所以四边形BEPD是正方形,它的边长可由三角形的面积求得.【解】设PD=PE=PF=m,得,即由...

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