三角形、梯形的中位线【本讲教育信息】一.教学内容：三角形、梯形的中位线学习目标：1.掌握三角形、梯形中位线的概念、性质.2.会利用三角形中位线、梯形中位线的性质解决有关问题.3.体会转化的数学思想方法.二.重点、难点：三角形、梯形的中位线的概念、性质及其应用是本部分的重点；而灵活的应用性质解决问题及转化的数学思想方法的体会是难点.三.知识要点：1.三角形的中位线：（1）概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.如图，DE是△ABC的中位线，则DE与BC有怎样的位置和数量关系? DE是△ABC的中位线 DE∥BC，（3）三角形的中位线与三角形的中线的区别.2.梯形的中位线：（1）概念：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.（2）性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.如图，EF是梯形ABCD的中位线，且AD∥BC，则EF与AD、BC有怎样的位置和数量关系呢? EF是梯形ABCD的中位线∴∥AD∥BC，3.数学思想方法：（1）旋转变换思想：从三角形、梯形中位线性质的探究中可以得出利用旋转（特别是中心对称）可以把问题转化成以前的知识解决;（2）化归思想：梯形的中位线性质研究是转化为三角形的中位线知识解决问题，这是化归思想的具体体现.【典型例题】例1.（1）如果△ABC的3条中位线分别为3cm、4cm、5cm，那么△ABC的周长为cm，△ABC是三角形.（2）梯形的一底长6cm，中位线长10cm，求另一底的长.（3）设梯形中位线长为l，高为h，则梯形的面积可以表示为S=.解：（1）24cm，直角三角形.理由：根据三角形的中位线性质及勾股定理.（2）14cm，理由：根据梯形中位线的性质得到.（3）S=lh，理由：由梯形的中位线的性质得到：，所以S=lh，这是梯形面积公式的另一种表示形式.例2.如图，已知△ABC中，D为AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足为E.F是BC的中点.已知BD=6cm.求EF的长.分析：要求EF的长，只要找出EF与已知线段BD的数量关系，因为F是BC的中点，可以想到EF可能为△CBD的中位线.为此，只要证明E为CD的中点即可.解：在△ACD中， AD=AC，AE⊥CD，∴AE为△ACD的中线（三线合一），即E为CD的中点.又 F是BC的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴（cm）（三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半）例3.如图，已知：在△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分别为AC、AB、BC的中点，CE与DF相等吗?试说明理由.分析：由于DF与CE是四边形CDEF的两条对角线．故要证CE=DF，只要证明四边形CDEF为矩形.现已知∠DCF=90°．只要再证四边形CDEF为平行四边形．解： D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC.同理，EF∥AC，∴四边形CDEF为平行四边形.又 ∠DCF=90°，∴四边形CDEF为矩形，∴CE=DF例4.梯形ABCD中，AD∥BC，且BC>AD，∠B+∠C=90°，E、F分别是AD、BC的中点.试说明：解：过点E分别作EM∥AB，EN∥DC，交BC于M、N，则四边形ABME为平行四边形，∴AE=BM.同理，DE=CN，∴MN=BC-（BM+CN）=BC-AD.又 ∠B+∠C=90°，∴∠EMN+∠ENM=90°，∴∠MEN=90°而F、E为AD、BC的中点，BM=AE=DE=CN．∴F为MN中点，∴评注：问题的解决就是利用化归思想把条件利用平行进行转移，并集中在三角形中解决问题.例5.如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AB=AD+BC.（1）当P为AB中点时，试说明：PC⊥PD;（2）当P为AB上动点，是否存在异于AB中点的一点，使PC⊥PD?若存在，请找出来，不存在，说明理由.分析：要证明PC⊥PD，只要证明∠1+∠2=90°，为此，可以取DC的中点H.解：（1）如图1，取DC中点H，连结PH，则即PH=DH=CH，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4.而∠1+∠2+∠3+∠4=180°∴∠3+∠4=90°∴PC⊥PD.（2）如图2，在AB上取一点P′，使P′A=AD，由于AB=AD+BC，且AD
