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辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 乘法公式及其拓展应用讲学案 苏科版-苏科版初中七年级下册数学学案VIP免费

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乘法公式及其拓展应用【本讲教育信息】一.教学内容:乘法公式及其拓展应用二.重、难点:1.熟练掌握乘法公式,能灵活利用乘法公式进行整式乘法运算。2.理解乘法公式的拓展。三.知识要点1.乘法公式及其结构特征(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;结构特征:公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积,而右边是这两个数的平方差.(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.结构特征:公式的左边是两个数的和(或差)的平方,而右边是这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.[说明]:①公式可推广:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.即三个数的和的平方,等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍。②如果一个多项式能化成另一个多项式的平方,就把这个多项式叫做完全平方式。如,a2±2ab+b2=(a±b)2;a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,则a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式。2.注意弄清乘法公式中的字母含义公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式、多项式,只要符合公式的结构特征,就可以利用公式。例如:(2m+5n)(2m-5n)=(2m)2-(5n)2=4m2-25n2.(4x+3y)2=(4x)2+2·4x·3y+(3y)2=16x2+24xy+9y2.3.注意运用公式容易出现的错误在学习中不少同学经常出现如下错误:(1)(a+b)(a+b)=a2+b2;(2)(a+b)2=a2+b2;(a-b)2=a2-b2.错误(1)的原因是模仿平方差公式所致,切记只有平方差公式,没有平方和公式;错误(2)的原因是与积的平方(ab)2=a2b2相混淆。对于这些错误,同学们只要利用多项式的乘法计算一下,即可得到验证。4.注意掌握公式的形式变形(1)平方差公式的常见变形:1)位置变化:(a+b)(-b+a)=_________;2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_________;3)系数变化:(3a+2b)(3a-2b)=_________;4)指数变化:(a3+b2)(a3-b2)=_________;5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b+c)=_________;6)连用变化:(a+b)(a-b)(a2+b2)=_________.(2)完全平方公式的常见变形:1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.☆☆5.乘法公式——立方差、立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)【典型例题】一.变形后乘法公式例1.计算:(x2-2x)(x2-2x-3)分析:两个因式中都含有x2-2x,可以把它看成一个整体使计算较为简便。解:原式=(x2-2x)2-3(x2-2x)=x4-4x3+4x2-3x2+6x=x4-4x3+x2+6x例2.计算分析:表面看本题不能直接用公式计算,但注意到,便可用平方差公式计算。解:原式例3.计算分析:本题显然不符合立方和公式的特征,可考虑将因式中的常数项5拆成,使其符合立方和公式的形式后进行运算。解:原式二.合理选用乘法公式例4.计算:(2a-1)2(4a2+2a+1)解法一:原式=(4a2-4a+1)(4a2+2a+1)=16a4+8a3+4a2-16a3-8a2-4a+4a2+2a+1=16a4-8a3-2a+1解法二:原式=(2a-1)(2a-1)(4a2+2a+1)=(2a-1)(8a3-1)=16a4-8a3-2a+1说明:由于方法二将(2a-1)与(4a2+2a+1)结合用立方差公式,显然较方法一简单。例5.计算分析:前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积,显然后面的计算较繁杂,而先运用立方和(差)公式计算,然后运用平方差公式,能使问题直观、简单。解:原式三.逆用乘法公式不仅要掌握乘法公式的正向应用,还要注意掌握公式的逆向应用,乘法公式均可逆用,特别是完全平方公式的逆用就是配方,配方是一种很重要的数学思想方法,它的应用非常广泛。例6.计算分析:若先平方展开后再相乘将不胜其繁,倒不如逆用积的乘方法则,再用乘方公式计算显得简捷。解:原式例7.设为四边形的四边长且,试判别此四边形的形状。解:配方得:即四.变用乘法公式例8.已知,求证:。分析:利用变形式,即可得证。证明:由得:所以得:即例9.计算:(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)2+(b-a+c)2分析:若将三数和的平方全都展开是很复杂的,如果注意到完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2=2(a2+b2)以及(a+b)2-(a-b)2=4ab等,再结合题...

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