辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 乘法公式及其拓展应用讲学案 苏科版-苏科版初中七年级下册数学学案VIP免费

乘法公式及其拓展应用【本讲教育信息】一.教学内容：乘法公式及其拓展应用二.重、难点：1.熟练掌握乘法公式，能灵活利用乘法公式进行整式乘法运算。2.理解乘法公式的拓展。三.知识要点1.乘法公式及其结构特征（1）平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2；结构特征：公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差.（2）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.结构特征：公式的左边是两个数的和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍.[说明]：①公式可推广：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍。②如果一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完全平方式。如，a2±2ab+b2=（a±b）2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2，则a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式。2.注意弄清乘法公式中的字母含义公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以利用公式。例如：（2m+5n）（2m－5n）=（2m）2－（5n）2=4m2－25n2.（4x+3y）2=（4x）2+2·4x·3y+（3y）2=16x2+24xy+9y2.3.注意运用公式容易出现的错误在学习中不少同学经常出现如下错误：（1）（a+b）（a+b）=a2+b2；（2）（a+b）2＝a2+b2；（a－b）2＝a2－b2.错误（1）的原因是模仿平方差公式所致，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的原因是与积的平方（ab）2=a2b2相混淆。对于这些错误，同学们只要利用多项式的乘法计算一下，即可得到验证。4.注意掌握公式的形式变形（1）平方差公式的常见变形：1）位置变化：（a+b）（－b+a）＝_________；2）符号变化：（－a－b）（a－b）=_________；3）系数变化：（3a+2b）（3a－2b）＝_________；4）指数变化：（a3+b2）（a3－b2）＝_________；5）项数变化：（a+2b－c）（a－2b+c）=_________；6）连用变化：（a+b）（a－b）（a2+b2）=_________.（2）完全平方公式的常见变形：1）a2+b2=（a+b）2－2ab=（a－b）2+2ab；2）（a+b）2+（a－b）2=2（a2+b2）；3）（a+b）2－（a－b）2=4ab.☆☆5.乘法公式——立方差、立方和公式a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）a3－b3=（a－b）（a2+ab+b2）【典型例题】一.变形后乘法公式例1.计算：（x2－2x）（x2－2x－3）分析：两个因式中都含有x2－2x，可以把它看成一个整体使计算较为简便。解：原式=（x2－2x）2－3（x2－2x）=x4－4x3+4x2－3x2+6x=x4－4x3+x2+6x例2.计算分析：表面看本题不能直接用公式计算，但注意到，便可用平方差公式计算。解：原式例3.计算分析：本题显然不符合立方和公式的特征，可考虑将因式中的常数项5拆成，使其符合立方和公式的形式后进行运算。解：原式二.合理选用乘法公式例4.计算：（2a－1）2（4a2+2a+1）解法一：原式=（4a2－4a+1）（4a2+2a+1）=16a4+8a3+4a2－16a3－8a2－4a+4a2+2a+1=16a4－8a3－2a+1解法二：原式=（2a－1）（2a－1）（4a2+2a+1）=（2a－1）（8a3－1）=16a4－8a3－2a+1说明：由于方法二将（2a－1）与（4a2+2a+1）结合用立方差公式，显然较方法一简单。例5.计算分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，显然后面的计算较繁杂，而先运用立方和（差）公式计算，然后运用平方差公式，能使问题直观、简单。解：原式三.逆用乘法公式不仅要掌握乘法公式的正向应用，还要注意掌握公式的逆向应用，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一种很重要的数学思想方法，它的应用非常广泛。例6.计算分析：若先平方展开后再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则，再用乘方公式计算显得简捷。解：原式例7.设为四边形的四边长且，试判别此四边形的形状。解：配方得：即四.变用乘法公式例8.已知，求证：。分析：利用变形式，即可得证。证明：由得：所以得：即例9.计算：（a+b+c）2+（a+b－c）2+（a－b+c）2+（b－a+c）2分析：若将三数和的平方全都展开是很复杂的，如果注意到完全平方公式可变换出（a+b）2+（a－b）2=2a2+2b2=2（a2+b2）以及（a+b）2－（a－b）2=4ab等，再结合题...