十字相乘法一、十字相乘法分解因式的意义：利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。（1）∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)如图（1）（2）又∵(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2∴a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)如图（2）二、十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a可以分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。三、例题分析：例1把下列各式分解因式：(1)x2+2x-15(2)x2-6x+8(1)分析：常数项(-15)＜0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。在分解时，可用下面的式子进行验算。说明：在竖式验算后写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1时，会出现错误的。(2)分析：常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)。其中只有-2与-4的和为-6。解：x2-6x+8=(x-2)(x-4)例2把下列式子分解因式：a2-5ab-24b2分析：把原式变形为式a2-(5b)a-24b2，即把-5b看作a的系数，把-24b2看作常数项，这样可将原式看成a的二次三项式，用十字相乘法试算。解：a2-5ab-24b2=a2-(5b)a-24b2=(a+3b)(a-8b)说明：要注意避免a2-5ab-24b2=(a+3)(a-8)这类的错误，也要避免a2-5ab-24b2=(a+8b)(a-3b)的错误。例3分解因式：(1)(x+y)2+2(x+y)-24分析：把(x+y)看成一个整体，这样，这个多项式就是关于(x+y)的二次三项式，很容易依照前面的方法分解：解：(x+y)2+2(x+y)-24=[(x+y)+6][(x+y)-4]=(x+y+6)(x+y-4)例4分解因式：(1)x4-3x2-4(2)x4-10x2y2+9y4(1)分析：把原式写成(x2)2-3(x2)-4，它仍旧是x2的二次三项式，可以用十字相乘法分解。-4=(-4)×1而-3=-4+1解：x4-3x2-4=(x2)2-3(x2)-4=(x2-4)(x2+1)=(x2+1)(x+2)(x-2)(2)分析：原式可变形为(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2即可看成x2的二次三项式，再采用十字相乘法分解因式。解：x4-10x2y2+9y4=(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2=(x2-y2)(x2-9y2)=(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y)说明：十字相乘法应用后原式为(x2-y2)(x2-9y2)要再对它进行分解；两个因式都分别应用平方差公式即可。例5分解因式：(1)2x2-5x-3(2)5x2-21x-+18(1)分析：我们要把这个多项式分解成形如(a1x+c1)·(a1x+c2)的形式，这里的a1a2=2，c1c2=-3，a1c2+a2c1=-5，由十字相乘法竖式可知关键问题在于确定二次项系数2的两个因数a1和a2和常数项-3的两个因数c1，c2。二次项系数2可分解为2×1，常数项-3＜0可分解两个异号整数的积即为(-3)×(1)，3×(-1)，最后考虑一次项系数-5，它是十字相乘法寻找这四个数的关键，因为-5＜0，所以a1c2+a2c1＜0而a1＞0，a2＞0，所以c1，c2的寻找就相对容易了。解：2x2-5x-3=(x-3)(2x+1)说明：通过十字相乘的验算公式后写结果时要横向写，不要对角写结论，注意避免出现2x2-5x-3=(x+1)(2x-3)这样的错误。(2)分析：因为二次项系数为质数5，可分解为1×5竖式中可将左边先固定，再分解常数项18，18＞0，∴18=(1)(18)，18=(-1)(-18)，18=2×9，18=(-2)×(-9)，18=3×6，18=(-3)(-6)。根据一次项系数为-21，所以只可选用(-3)(-6)。解：5x2-21x-+18=(x-3)(5x-6)例9分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析：此题是一个六项式，可采用三、二、一分组法，分成三大项，将齐次项x2+3xy+2y2分为一组，先进行十字相乘为(x+y)(x+2y)再与(4x+5y+3)用十字相乘法再分解一次，这样的分解也可称为“双十字相乘法”。解：x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+y)(x+2y)+4x+5y+3=(x+y+1)(x+2y+3)四、注意问题提示：1、对所给的多项式应先整理，包括去括号，按某一字母的降幂排列等。2、因式分解时首先考虑公因式的提取。3、使用十字相乘法分解因式时，务必注意各项系数的符号，掌握同号、异号两数相乘相加的法则，符号规律。4、要能灵活地运用提取公因式、公式法、分组分解法、十字相乘法进行多项式的因式分解，有时，各种方法交替进行，反复使用。
