18.1.2平行四边形的判定第2课时【教学目标】知识与技能:1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线性质定理.2.能较熟练地应用三角形中位线性质定理进行有关的证明和计算.过程与方法:经历探索、猜想、证明三角形中位线性质定理的过程,进一步发展推理论证的能力.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.进一步发展推理论证的能力,感悟几何学的推理方法.情感态度与价值观:培养学生探索的勇气和信念,增强挑战困难的勇气和信心.培养合情推理能力,以及严谨的书写表达,体会几何思维的真正内涵.【重点难点】重点:掌握三角形的中位线定理.会应用三角形的中位线定理进行计算或证明.难点:三角形的中位线性质定理的证明.【教学过程】一、创设情境,导入新课:1.思考:平行四边形的性质与判定之间有什么联系?2.探索:你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?你是如何分割的?(答案如图)图中有几个平行四边形?你是如何判断的?你能解决上面所提出的问题吗?这一节我们就来探究.二、探究归纳活动1:三角形的中位线定义:1.(1)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.(2)符号表示:如图,点D、E分别为△ABC边AB、AC的中点,线段DE是△ABC的中位线.2.思考:(1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条?②三角形的中位线与中线有什么区别?(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?提示:(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.(2)三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.活动2:探索三角形中位线的定理:1.如图,点D、E分别为△ABC边AB、AC的中点,求证:DE∥BC且DE=BC.分析:所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.证明:方法一:如图(1),延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.方法二:如图(2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF、CD和AF,又AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形ADCF是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.2.归纳:(1)三角形中位线的定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.(2)符号表示:如图, 线段DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC且DE=BC.活动3:例题讲解【例1】如图所示,吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC,已知点E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5m,他想把四边形BCFE用篱笆围成一个圈放养小鸡,则需要篱笆的长是()A.15mB.20mC.25mD.30m分析:根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长,也就是等边三角形的边长,周长也就不难得到.解:选C. 点E,F分别是边AB,AC的中点,EF=5m,∴BC=2EF=10m, △ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∴BE=CF=BC=5m,∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25m.总结:一个三角形中位线有3条,三角形的3条中位线构成的三角形的周长等于原三角形的周长的一半,面积等于原三角形的面积的四分之一.应用三角形中位线定理可解决测量等问题.【例2】已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析:因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连接AC或BD,构造“三角形中位线”的基本图形后,此题便可得证.证明:如图,连接AC,△DAC中, AH=HD,CG=GD,∴HG∥AC,HG=AC(三角形中位线性质).同理EF∥AC,EF=AC.∴HG∥EF,且HG=EF.∴四边形EFGH是平行四边形.总结:顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.三、交流反思这一节课我们学习了三角形中位线概念和定理,三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.一个题设两个结论,注意关键题目特点,选择使用.四、检...
