初三数学第一学期解直角三角形专题一.本周教学内容：解直角三角形专题［学习目标］1.经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。2.体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。3.通过实例认识直角三角形的边角关系（锐角三角函数），知道30°、45°、60°角的三角函数值，会使用计算器由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它的对应锐角。4.运用三角函数解决与直角三角函数有关的简单实际问题。5.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。［知识内容］1.知识归纳2.知识梳理（1）测量①常见的两种测量②新的测量方法（三角函数方法）（2）勾股定理①勾股定理②勾股定理证明方法：很多，大多数是采用面积相等的拼接方法。③勾股定理的应用（3）锐角三角函数①锐角三角函数的概念，要通过画图来帮助分析，通过画图找出直角三角形中的边、角关系。②用计算器求锐角三角函数值。③特殊三角函数。④有一锐角为30°的直角三角形的特征。⑤锐角三角函数之间的关系。（4）解直角三角形①解直角三角形的意义。②直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系。③解直角三角形的应用：首先应明确有关的概念，如仰角、俯角、坡度、坡角等测量概念，其次弄清题意，准确地根据题意画出图形。（5）解斜三角形问题对于斜三角形问题要通过作辅助线将其转化为直角三角形解决。【典型例题】例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（）A.B.C.D.24解析：如图所示在Rt△ABC中，设AC＝k，AB＝5k由勾股定理可知：故选A例2.如图，为测河宽，小丽在河岸岸边任意选取一点A，再在河这边B处观察A，此时视线BA与河岸BD所成的夹角为60°，小丽沿河岸BD向前走了50米到点C处，CA与河岸BD所成的夹角为45°，根据小丽提供的信息能测出河宽吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由（结果精确到1米）。分析：要求河宽，就应找一条线段为河宽，过A点作AE⊥BC，垂足为E，由此把△ABC分成两个直角三角形Rt△ABE和Rt△ACE。在Rt△ABE中，在Rt△ACE中，而，解方程可得河宽。解：过A点作AE⊥BC，垂足为E在Rt△AEB中，∠ABE＝30°在Rt△AEC中，∠ACE＝45°∴AE＝EC解得：32米答：可以测出河宽，且河宽为32米。例3.在△ABC中，，若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图2和如图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。分析：本题的求解应设法构造直角三角形，将其转化为直角三角形以便借助勾股定理去证明。证明：（1）当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC，垂足为D设CD为x，则有根据勾股定理得：整理得：，则（2）当△ABC是钝角三角形时，则过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D设CD为x，则有由勾股定理得：整理得：例4.计算：（1）（2）分析：熟练地掌握特殊角的三角函数值就可以计算。解：（1）（2）例5.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时货轮与灯塔M的距离是多少？（精确到0.1海里，）分析：直接计算MD是不可能，我们发现MD是Rt△ADM和Rt△BDM的共同的直角边，由此分别在两个直角三角形中计算。解：海里在Rt△BDM中，∠DBM＝45°，∠MDB＝90°∴BD＝MD在Rt△ADM中，∠DAM＝30°，∠MDB＝90°即解得：（海里）答：货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔的距离约为27.3海里。例6.如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC。解析：本题的求解应抓住AB＝AD，这一重要数量关系去求解。解：在Rt△ADE中，∠E＝90°，∠DAE＝45°由勾股定理可得：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝60°答：点B到地面的垂直距离BC为。例7.如图，△ABC中，∠A＝30°，，求AB。分析：由题中条件分析出此△ABC不是直角三角形，因此要构造直角三角形过C作CD⊥AB，垂足为D。通过Rt△ADC和Rt△BCD可...
