2024年一元二次方程的解法归纳总结VIP专享VIP免费

一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一种中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平措施、因式分解法、配措施和公式法是教材上重点讲解的四种措施,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.此外,还将简介某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的措施中,直接开平措施是最直接的措施,因式分解法是最简朴的措施,配措施是最基本的措施,而公式法是最万能的措施.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺乏一次项,选择用直接开平措施求解;一元二次方程缺乏常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平措施解形如x2=p（p≥0）和(ax+b)2=c（c≥0）的一元二次方程,用直接开平措施.用直接开平措施解一元二次方程的一般环节:（1）把一元二次方程化为x2=p（p≥0）或(ax+b)2=c（c≥0）的形式;（2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平措施是最直接的解一元二次方程的措施,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程x2=p,当p<0时,方程无解;（3）对于一元二次方程(ax+b)2=c:①当c>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当c=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当c<0时,一元二次方程没有实数根.例1.解下列方程:（1）x2−2=0;（2）16x2−81=0.分析:观测到两个方程的特点,都可以化为x2=p（p≥0）的形式,所有选择用直接开平措施求解.当一元二次方程缺乏一次项时,考虑使用直接开平措施求解.解:（1）x2=2x=±√2∴x1=√2,x2=−√2;（2）16x2=81,x2=8116x=±√8116=±94∴x1=94,x2=−94.例2.解下列方程:（1）(x−3)2−9=0;（2）12(2−x)2−9=0.分析:观测到两个方程的特点,都可以化为(ax+b)2=c（c≥0）的形式,所有选择用直接开平措施求解.解:（1）(x−3)2=9x−3=±3∴x−3=3或x−3=−3∴x1=6,x2=0;（2）12(x−2)2=9(x−2)2=912=34∴x−2=±√34=±√32∴x−2=√32或x−2=−√32∴x1=2+√32,x2=2−√32.习题1.下列方程中,不能用直接开平措施求解的是【】（A）x2−3=0（B）(x−1)2−4=0（C）x2+2=0（D）(x+1)2=(−2)2习题2.若(x2+y2−1)2=4,则x2+y2=_________.习题3.若a,b为方程x2−4(x+1)=1的两根,且a>b,则ab=【】（A）−5（B）−4（C）1（D）3习题4.解下列方程:（1）(2x−8)2=16;（2）9(3x−2)2=64.习题5.解下列方程:（1）(4x−1)2−9=0;（2）(x+13−x)2=4.习题6.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表达p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1.（1）min{−√2,−√3}=_________;（2）若min{(x−1)2,x2}=1,则x=_________.习题7.已知直角三角形的两边长x,y满足|x2−16|+√y2−9=0,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）二、因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般环节是:（1）移项把方程的右边化为0;（2）化积将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;（3）转化令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;（4）求解解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.例1.用因式分解法解方程:x2=3x.解:x2−3x=0x(x−3)=0∴x=0或x−3=0∴x1=0,x2=3.例2.用因式分解法解方程:(x−1)2−2x(x−1)=0.解:(x−1)(x−1−2x)=0(x−1)(−x−1)=0(x−1)(x+1)=0∴x−1=0或x+1=0∴x1=1,x2=−1.例3.解方程:3x2−12x=−12.解:3x2−12x+12=03(x2−4x+4)=03(x−2)2=0∴x1=x2=2.例4.解方程:x2+x=3x+3.解:x2+x−(3x+3)=0x(x+1)−3(x+1)=0(x+1)(x−3)=0∴x+1=0或x−3=0∴x1=−1,x2=3.因式分解法解高次方程例5.解方程:(x2−1)2−3(x2−1)=0.解:(x2−1)(x2−1−3)=0(x2−1)(x2−4)=0(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)=0∴x+1=0或x−1=0或x+2=0或x−2=0∴x1=−1,x2=1,x3=−2,x4=2.例6.解方程:(x2+3)2−4(x2+3)=0.解:(x2+3)(x2+3−4)=0(x2+3)(x2−1)=0(x2+3)(x+1)(x−1)=0 x2+3>0∴(x+1)(x−1)=0∴x+1=0或x−1=0∴x1=−1,x2=1.用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当Δ=b2−4ac≥0且Δ的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.例7.解方程:x2−5x+6=0.分析:Δ=(−5)2−4×6=25−24=1,其成果为完全平方数,可以使...