第57练数学归纳法[基础保分练]1．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步验证为______________________．2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证当n＝________时，命题亦真．3．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋成立，起始值应取n＝________.5．用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上增加的项为________．6．已知n∈N*，用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增加的代数式是________．7．用数学归纳法证明等式：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，验证n＝1时，等式左边＝____________.8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上______________．9．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，假设当n＝k时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，________________.10．用数学归纳法证明“n3＋5n(n∈N*)能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋5(k＋1)式子应变形为______________________．[能力提升练]1．用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k”到“n＝k＋1”时，左边增加了________项．2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．3．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域，则k＋1条直线把平面分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋________.4．设f(n)＝1－＋－＋…＋，则f(k＋1)＝f(k)＋______________.(不用化简)5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则f(k＋1)＝f(k)＋______________.6．有以下四个命题：①2n>2n＋1(n≥3)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥2)；③凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)；④凸n边形对角线条数f(n)＝(n≥4)．其中满足“假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”．但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是________．答案精析基础保分练1．当n＝1时，左边＝4＝右边，命题正确2.2k＋13.1＋＋<24.85．2k＋16．2(2k＋1)解析当n＝k时，左端＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(2k)，当n＝k＋1时，左端＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，所以当从k到k＋1时，左端需要增加的代数式为＝2(2k＋1)．7．1＋a＋a2解析用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1时，把n＝1代入，左端＝1＋a＋a2.8．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2，增加了2k＋1项．即(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.9．ak＋1＝4·2(k＋1)－1－2解析∵ak＝4·2k－1－2，∴ak＋1＝2ak＋2＝2(4·2k－1－2)＋2＝4·2(k＋1)－1－2.10．(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6解析用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6，由于假设k3＋5k能够被6整除，而k(k＋1)能被2整除，因此3k(k＋1)＋6能被6整除，故答案为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.能力提升练1．2k2.(k＋1)2＋k23.k＋14.－5.－6．②③解析对于命题①，2n>2n＋1(n≥3)，当n＝3时有8>7，故当n等于给定的初始值时成立，所以不满足条件；对于命题②，2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥2)，假设n＝k时命题成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋2，当n＝k＋1时有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2＋2(k＋1)＝k2＋2k＋1＋k＋3＝(k＋1)2＋(k＋1)＋2，故对n＝k＋1时命题也成立，对于初始值n＝2时有6≠4＋2＋2，不成立，所以满足条件；对于命题③，凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)，假设n＝k时命题成立，即f(k)＝(k－1)π，当n＝k＋1时有f(k＋1)＝f(k)＋π＝kπ，故对n＝k＋1时命题也成立，对于初始值n＝3内角和为π，不成立，故满足条件；对于命题④，凸n边形对角线条数f(n)＝，假设n＝k时命题成立，即f(k)＝，当n＝k＋1时有f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝＋k－1＝≠，故不满足条件．
