课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固组1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)2.(2017广东揭阳一模)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-7,-4),则向量=()A.(10,7)B.(10,5)C.(-4,-3)D.(-4,-1)3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)4.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且a∥b,则3a+2b=()A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λμ=()A.-3B.3C.-4D.46.在△ABC中,点P在边BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)7.设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,则使=0成立的点M的个数为()A.0B.1C.2D.4导学号〚21500537〛8.(2017福建龙岩一模)已知平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且,则x的值为.9.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.10.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.11.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=c,=d,则=,=.(用c,d表示)12.(2017湖南模拟)给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的上运动.若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值为.二、综合提升组13.(2017河北武邑中学一模,理7)在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为()A.B.3C.D.14.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是()A.B.C.D.15.设O在△ABC的内部,且有+2+3=0,则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()A.3B.C.2D.导学号〚21500538〛16.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.三、创新应用组17.(2017辽宁大连模拟)在△ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形,但不是等边三角形18.(2017全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3B.2C.D.2导学号〚21500539〛课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示1.B由题意知,A选项中e1=0;C,D选项中的两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.2.C由点A(0,1),B(3,2),得=(3,1).又由=(-7,-4),得=(-4,-3).故选C.3.D由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.4.B因为a∥b,所以m+4=0,所以m=-4.所以b=(2,-4).所以3a+2b=(7,-14).5.A设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则=(2,-2),=(1,2),=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即解得所以λμ=-3.故选A.6.B如图,=3=3(2)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).7.B设M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4),则=(xi-x,yi-y).由=0,得即故点M只有1个.8.1由题意,得=(3,6),=(x,2).,∴6x-6=0,解得x=1.9|b|=由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=10.(-1,1)或(-3,1)由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).11(2d-c)(2c-d)设=a,=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以b,a.又所以即(2d-c),(2c-d).12.2以O为坐标原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B设∠AOC=,则C(cosα,sinα).由=x+y,得所以所以x+y=cosα+sinα=2sin又,所以当α=时,x+y取得最大值2.13.C因为=+,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λ,当且仅当λ=μ=时取等号,此时,即D是线段BC的中点,所以||=|=故选C.14.D依题意,设=,其中1<λ<,则++λ()=(1-λ)+又=x+(1-x),且不共线,所以x=1-,即x的取值范围是故选D.15.A设AC,BC的中点分别为M,N,则+2+3=0可化为()+2()=0,即+2=0,所以=-2所以M,O,N三点共线,即O为中位线MN的三等分点,所以S△AOC=S△ANC=S△ABC=S△ABC,所以=3.16.(0,2)∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以解得故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).17.A如图,由c+a+b=0,得c()+a-b=(a-c)+(c-b)=0为不共线向量,∴a-c=c-b=0,∴a=b=c.18.A建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=,即圆的方程是(x-2)2+y2=易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).由=+,得所以μ=,λ=1-y,所以λ+μ=x-y+1.设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,即,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.
