第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共9页证明如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴ADAB=AEAC=12． ∠A＝∠A，∴△ADEABC∽△（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴∠ADE＝∠ABC，DEBC=12（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），∴DEBC∥且DE=12BC．概括我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC，所以DEAC∥（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EFAB∥．所以四边形ADEF是平行四边形．因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．例2如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．求证：GECE=GDAD=13．第2页共9页第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共9页证明连结ED， D、E分别是边BC、AB的中点，∴DEAC∥，DEAC=12（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），∴△ACGDEG∽△，∴GEGC=GDAG=DEAC=12，∴GECE=GDAD=13．拓展如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有G'DAD=G'FBF=13，所以有GDAD=G'DAD=13，即两图中的点G与G′是重合的．于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知：如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，ADBC∥，AE＝BE，DF＝CF．第3页共9页第2页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共9页求证：EFBC∥，EF＝12（AD＋BC）．分析由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADFGCF△．思考如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为S=12(l1+l2)h．其中l1、l2分别为梯形的两底边的长，h为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？练习1．如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB＝6，BC＝10，AC＝8．试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF的大小．第4页共9页第3页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共9页2．如图所示的梯形梯子，AA′EE′∥，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．3．求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．习题24．41．三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．2．梯形中位线长为12cm，上、下底的比是13∶，那么梯形下底与上底之差是多少？3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点．求证：四边形EGFH是矩形．4．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．§24.5画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变．下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．现在要把多边形ABCDE放大到1．5倍，即新图与原图的相似比为1．5．我们可以按下列步骤画出图24．5．1：1．任取一点O；2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；3．分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′OA∶＝OB′OB∶＝OC′OC∶＝…＝1．5；4．连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．第5页共9页第4页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页...
