第42课三角形中的最值问题考点提要1．掌握三角形的概念与基本性质．2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．基础自测1．（1）△ABC中，cos33sinAA，则A的值为30°或90°；（2）△ABC中，当A=3时，cos2cos2BCA取得最大值32．2．在△ABC中，mmmCBA2:)1(:sin:sin:sin，则m的取值范围是21m．解由mmmcbaCBA2:)1(:::sin:sin:sin，令mkckmbmka2,)1(,，由bcacba,，得21m．3．锐角三角形ABC中，若A=2B，则B的取值范围是30o＜B＜45o．4．设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则rR的最大值为21．5．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是,,abc，若23bac，则B的取值范围是0°＜B≤120°．6．在△ABC中，若A>B，则下列不等式中，正确的为①②④．①Asin>Bsin；②AcosB2sin；④A2cosBa>bARsin2>BRsin2Asin>Bsin，故①正确；AcosB，故②正确（或由余弦函数在(0,)上的单调性知②正确）；由A2cosBsinA>B，故④正确．知识梳理1．直角△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是,,abc，C=90°，若内切圆的半径为r，则2abcr．2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．例题解析例1已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．点评例2已知△ABC中，1,2ab．（1）求最小内角的最大值；（2）若△ABC是锐角三角形，求第三边c的取值范围．解（1）由三角形三边关系得第三边c满足122112c,c,c,解得13c，故最小内角为A．又2222313133cos224442bcacAccbcccc()≥（当且仅当3c时等号成立），所以A≤30°，即最小内角的最大值为30°．（2）因为△ABC是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为a＜b，所以A＜B，故只需说明B，C为锐角即可．由B，C为锐角得0
