第八章Green函数法8
2基础训练8
1例题分析例1求三维泊松方程的基本解．解：Green函数满足的方程为(8
1)采用球坐标，并将坐标原点放在源点上．由于区域是无界的，点源所产生的场应与方向无关，而只是r的函数，于是式(8
1)简化为当时，方程化为齐次的，即易于求得其一般解为(8
2)取，不失一般性，得(8
3)考虑的情形．为此，对方程(8
1)在以原点为球心、为半径的小球体内作体积分从而而由散度定理为的边界面）有故将式(8
3)的结果代入上式，得代入式(8
3)，于是例2求二维泊松方程的基本解．解：格林函数满足的方程为(8
5)采用极坐标，并将坐标原点放在源点上，则与三维问题一样，G应只是r的函数，于是式(8
5)简化为(8
6)当时，解式(8
6)，得当时，在以原点为中心、为半径的小圆内对方程(8
5)两边作面积分，注意到二维情况下的散度定理为为的边界）类似于对三维情况的讨论，得于是(8
7)例3求泊松方程在矩形区域内的狄氏问题的格林函数．解：其格林函数的定解问题为它是定解问题当时的特例，而与定解问题(8-10)~(8
11)相应的本征值问题为它的本征值和归一化的本征函数分别是其中在式(8
8)中，故根据式(8
7)，有例4求解球的狄氏问题(8
12)解：此时方程的非齐次项，故由解的积分公式得定解问题(8
12)的解为(8
13)其中为球面，G为球的狄氏格林函数，它满足定解问题(8
14)故求u的问题就转化为求边界为球面的三维泊松方程的狄氏格林函数G的问题．而由上面所述的G的物理意义知，求G即要求在点置有正电荷的接地导体球内任意一点M处的电位，亦即要求感应电荷所产生的电位g，它满足(8
15)由物理学知识知，倘若在点关于球面的对称点（又称像点）放置一负点电荷，则由于在球外，它对球内电位的贡献必然满足拉氏方程．因此，只要适当选择q的大小，使之对边界面上电位的贡献
