幂的运算及整式乘法【典型例题】一.幂的运算1.同底数幂的乘法：首先观察：（1）23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=27（2）53×54=(5×5×5)×(5×5×5×5)=57（3）a3·a4=(a×a×a)×(a×a×a×a)=a7观察后得到运算的法则=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am·an=am+n（m、n为正整数）例1.计算：（1）73×75（2）y5·y2（3）a·a3·an（4）am·am+3（5）P2·(－P)4（6）(－x)3·x5分析：解决此题关键是正确掌握同底数幂的乘法法则：am·an=am+n（m、n为正整数），且注意有关符号的变化：(－P)4=P4，(－x)3=－x3解：（1）73×75=73+5=78（2）y5·y2=y5+2=y7（3）a·a3·an=a1+3·an=a4·an=a4+n（4）am·am+3=am+m+3=a2m+3（5）P2·(－P)4=P2·P4=P6（6）(－x)3·x5=－x3·x5=－x8注意：1.同底数幂的乘法是幂的运算的基础，非常重要。2.由（3）可知am·an·aP=am+n+P（m、n、P均为正整数）例2.计算：（1）(－a)4·(－a)2·(－a)（2）(－a)4·(－a2)·(－a)（3）x5·x3－x4·x4+x7·x+x2·x6（4）33·36－32·36+3·(－3)7分析：上面几个题目均较为复杂，但主要是运用同底数幂相乘的法则，底数不同的要化成相同才能使用法则，而且是同类项的要合并。解（1）(－a)4·(－a)2·(－a)=(－a)4+2+1=(－a)7（2）(－a)4·(－a2)·(－a)=a4·(－a2)·(－a)=a4·a2·a=a4+2+1=a7（3）x5·x3－x4·x4+x7·x+x2·x6=x5+3－x4+4+x7+1+x2+6=x8－x8+x8+x8=2x8（4）33·36－32·36+3·(－3)7=33+6－32+6+3·(－37)=39－38－38=39－2×38=3×38－2×38=(3－2)×38=382.幂的乘方：观察：（1）(23)2=23×23=26（2）(32)3=32×32×32=32+2+2=36（3）(a3)4=a3·a3·a3·a3=a3×4=a12这也就是说：幂的乘方，底数不变，指数相乘。例3.计算：（1）(103)5（2）(an)2（3）(am-3)2（4）[(3x－2y)2]3（5）[(－x)2]m（6）－(x2)m分析：解答此题的关键是掌握幂的乘方性质，即：底数不变，指数相乘。(am)n=am·n（m、n为正整数）解：（1）(103)5=103×5=1015（2）(an)2=a2n（5）[(－x)2]m=(x2)m=x2m（6）－(x2)m=－x2m例4.计算：（1）(a2)8·(a4)4（2）(－3x)3·(－x2)4（3）(－x3)2·(－x2)3（4）[(x－y)2]3·(y－x)解：（1）(a2)8·(a4)4=a2×8·a4×4=a16·a16=a16+16=a32（2）(－3x)3·(－x2)4=－(3x)3·(x2)4=－(3x)3·x2×4=－(33×x3)·x8=－33x3+8=－33·x11（3）(－x3)2·(－x2)3=(x3)2·[－(x2)3]=x6·(－x6)=－x12（4）[(x－y)2]3·(y－x)=(x－y)6·[－(x－y)]=－(x－y)6·(x－y)=－(x－y)73.积的乘方：观察：（1）(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2（2）(ab)4=(ab)(ab)(ab)(ab)=(a·a·a·a)·(b·b·b·b)=a4b4可得：(ab)n=anbn（n为整数）这就是说：积的乘方等于各因数乘方的积。例5.（1）(2b)3（2）(2×a3)2（3）(－a)3（4）(－3x)4解：（1）(2b)3=23b3=8b3（2）(2×a3)2=22(a3)2=4a6（3）(－a)3=(－1)3a3=－a3（4）(－3x)4=(－3)4·x4=81x4例6.计算：（1）(x2)3·(x2y)2（2）x8y6－(x4y3)2（3）2x10－(2x5)2（4）85×0.1255（5）162×24×42（用2n的形式表示）解：（1）(x2)3·(x2y)2=x6·x4y2=x10y2（2）x8y6－(x4y3)2=x8y6－x4×2y3×2=x8y6－x8y6=0（3）2x10－(2x5)2=2x10－4x10=－2x10（5）162×24×42=(24)2×24×(22)2=28×24×24=28+4+4=216二、整式的乘法：1.单项式与单项式相乘：例7.计算：（1）3x2y·（－2xy3）（2）(－5a2b3)·(－4b2c)解：（1）3x2y·（－2xy3）=[3·(－2)]·(x2·x)·(y·y3)=－6x3y4（2）(－5a2b3)·(－4b2c)=[(－5)·(－4)]·a2·(b3·b2)·c=20a2b5c单项式与单项式相乘的法则：只要将它们的系数相乘，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。例8.计算：（2）(3.2×103)×(5×105)（3）(－4a2b5c)·3ab6·(－7b2c3)解：=－5x6y5（2）(3.2×103)×(5×105)=3.2×5×(103×105)=16×108=1.6×109（3）(－4a2b5c)·3ab6·(－7b2c3)=[(－4)×3×(－7)](a2·a)·(b5·b6·b2)·（c·c3）=84a3b13c42.单项式与多项式相乘：例9.计算：（1）2a2(3a2－5b)（2）(－2a2)·(3ab2－5ab3)解：（1）2a2(3a2－5b)=2a2·3...
