§28.2解一元二次方程[教学目标]使学生掌握配方法的推导过程,能够熟练地进行配方;使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学重点]掌握配方法的推导过程,能够熟练地进行配方。[教学难点]掌握配方法的推导过程,能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的配方。[教学关键]会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学形式]讲练结合法。[教学用时]45′×1[教学过程][复习提问]1、在(x+2)2=9中,x+2与9的关系是什么?(x+2是9的平方根。)(x-3)2=7中,x-3与7的关系是什么?(x-3是7的平方根。)2、试将方程的左边展开、移项、合并同类项。(x2-6x+9=7,x2-6x+2=0。)[讲解新课]现在,我们来研究方程:x2+6x+7=0的解法。我们知道,方程:x2-6x+2=0是由方程:(x-3)2=7变形得到的,因此,要解方程:x2-6x+2=0应当如何变形?这里要求学生做尝试回答:要解方程:x2-6x+2=0,最好将其变形(x-3)2=7。这是因为,我们会用直接开平方法解方程:(x-3)2=7了。下面重点研究如何将方程:x2-6x+2=0,变形为:(x-3)2=7。这里,不是只研究这一道题解法的问题,而是注意启发学生找出一般性规律。将方程:x2-6x+2=0的常数项移到右边,并将一次项6x改写成2·x·3,得:x2-2·x·3=-2。由此可以看出,为使左边成为完全平方式,只需在方程两边都加上9,即:x2-2·x·3+9=-2+9,(x-3)2=7。解这个方程,得:x1=3+x2=3-随后提出:通过配方,把方程的一边化为完全平方式,另一边化为非负数,然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。很明显,掌握这种方法的关键是“配方”。上述引例以及例1,二次项系数都是1,而例2,二次项的系数不是1,这时,要将方程的两边都除以二次项的系数,就把该方程的二次项系数变成1了。这样,“配方”就容易了。让学生做练习:1、x2+6x+=(x+)2;(9,3)2、x2-5x+=(x-)2;(25/4,5/2)3、x2+x+=(x+)2;(1/4,1/2)例1解方程:x2-10x-11=0。解:移项得x2-10x=11方程两边都加上(-5)2(x-5)2=36两边平方,得x-5=6或x-5=-6所以x1=11x2=-1例2解方程:3x2-32x-48=0解:方程两边都除以3,得x2-32/3x-16=0移项,得x2-32/3x=16配方,得(x-16/3)2=(20/3)2x-16/3=20/3或x-16/3=20/3所以x1=12x2=-4/3说明:在讲解完这两个例题之后,一方面是利用“配方法”求出一元二次方程的解,另一方面是通过求解过程使学生掌握“配方”的方法。讲解应突出重点,对容易出错的地主应给予较多的讲解。如例2的解方程:3x2—32x—48=0,在“分析”中指出,这个方程的二次项系数是3,为了便于配方,可把二次项系数化为1,为此,把方程的各项都除以3,并移项,得:x2-32/3x=48下一步应是配方。这里,一次项的系数是(-32/3),它的一半的平方是(256/9)。学生在这里容易出错。讲解时,应提醒学生注意。我们知道,配方法解一元二次方程是比较麻烦的,在实际解一元二次方程时,一般不用配方法,而用公式法。但是,配方法是导出公式法——求根公式的关键,在以后的学习中,会常常用到配方法,所以掌握这个数学方法是重要的。师生共同归纳配方法一般步骤:(1)系数化为1(2)移项(3)配方[课堂练习]教科书第34页练习题。36页练习大家谈谈有一张长方形桌子,它的长为2米,宽为1米,有一块长方形台布,它的面积是桌面面积的2倍,将台布铺在桌面上时,各边垂下的的长相等。求这块台布的长和宽(精确到0.01)请用直接设台布的长(或宽)为未知数列方程。求台布的长和宽。解:略分析在解决实际问题时,设未知数要灵活选择,同时要注意检验方程的解是否符合题意,从而确定实际问题的答案。[课堂小结]这堂课我们主要学习了用配方法解数字系数的一元二次方程,配方的关键是:在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。请同学们回去后,用配方法解一下关于x的方程:ax2+bx+c=0(a≠0)。(此题为下一课讲解作准备,可指定一些同学做,从中了解在公式推导过程中存在的问题。)[课外作业教科书第34页习题1、2.36页习题3,4题。[板书设计]课题:解一元二次方程例题1:例题2:步骤:定义:[课后记]通过本节课的学习,多数学生对配方法解一元二次方程基本掌握,但有一部分学生对一元二次方程一般式的配方法掌握的不好,希望课后多加练习。