24.2相似三角形的判定学习目标要求1、掌握相似三角形的概念。2、掌握两个三角形相似的条件。3、能用两个三角形相似的条件解决问题。教材内容点拨知识点1相似三角形：1、两个三角形，如果各边对应成比例，各角对应相等，则这两个三角形相似。2、各边对应成比例，各角对应相等是指三组对应角分别相等，三组对应边分别成比例。3、△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，书写时同三角形全等一样，要注意对应字母放在对应位置，例如，△ABC与△DEF中，A点与E点对应，B点与D点对应，C点与F点对应，则应记作△ABC∽△EDF。4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性，即如果两个三角形相似，则各边对应成比例，各角对应相等，∴相似三角形的定义即是性质，又是判定。5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。知识点2相似三角形判定方法：相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”，只是这里对边要求是对应成比例，对角的要求是对应角相等。1、“AA”：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似。可简单的说成：两角对应相等的两个三角形相似。2、“SAS”：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单的说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。3、“SSS”：如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可以简单的说成：三边对应成比例的两个三角形相似。4、“HL”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三外形相似。典型例题点拨例1、已知:如图，ΔABC中,AD＝DB，∠1＝∠2，求证:ΔABC∽ΔEAD。点拨：题中提供了两个条件，一个是关于边的，一个是关于角的，而关于边的条件可转换为角之间的关系，从而可得两个角之间的关系，联系到要求证的结论，可联想到用“AA”来证。解答： AD＝DB，∴∠3＝∠B，又 ∠1＝∠2，∠4＝∠B＋∠2，∠BAC＝∠３＋∠１，∴∠4＝∠BAC，在△ABC和△EAD中，∠3＝∠B∠4＝∠BAC∴ΔABC∽ΔEAD。例2、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？点拨：根据条件“BP＝3PC，Q是CD的中点”可知，结合∠C＝∠D＝90°，可用“SAS”求证。解答： BP＝3PC，Q是CD的中点，∴，又 四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，在ΔADQ与ΔQCP中，∠C＝∠D∴ΔADQ∽ΔQCP。例3、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。解答：（1） ∠ACP＝∠PDB＝120°，当＝，即＝，也就是CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB。（2） △ACP∽△PDB。∴∠A＝∠DPB，∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠APC＋∠A＋∠CPD＝∠PCD＋∠CPD＝120°。例4、（2006年福建省南平市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由：（2）若设，，当取何值时，最大？（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？点拨：本题主要考察对全等三角形和相似三角形的理解与应用，根据条件注意到△ABE∽△DEH，并由此得到，从而得到关于x、y的一个条件式，进而得到y与x的一个函数，这是解决第（2）小题的关键；在第（3）小题中，则要从果溯源，要使△BEH∽△BAE，则必须，由此得到关于x的一个方程，解这个方程即可。解答：（1）AE＝CG， 四边形ABCD、EBGF都是正方形，∴∠1＝∠2，且AB＝AC、BE＝BG，∴△ABE≌△CBG，∴AE＝CG（全等三角形的对应边相等）。（2）在△ABE和△DEH中，∠D＝∠A＝90°，∠1＝∠3＝90°－∠AEB，∴△ABE∽△DEH，∴，即，得，∴当时，。（3）若△BEH∽△BAE，则，即，解得，∴当E点运动到中点时，△BEH∽△BAE。考点考题点拨1、中考导航123中考中对相似三角形的考察往往结合其他内容例如平行线、平行四边形来进行，要熟练掌握相似...
