一.教学内容：第十九章：相似形19.4相似多边形19.5相似三角形的判定教学目标：1.了解相似多边形的概念、性质。2.理解相似三角形的概念，探索并掌握相似三角形的判定、性质。3.能利用相似三角形的基本性质解决一些简单的问题。二.重点、难点：重点：相似三角形的判定。难点：相似三角形成比例线段的选取。教学过程：（一）知识要点：1.相似多边形对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。“相似于”用“∽”表示。由相似多边形定义可知：相似多边形对应角相等，对应边成比例。2.相似三角形相似三角形是最简单的相似多边形。三个角对应相等，三边对应成比例的三角形是相似三角形。如：△ABC∽△A'B'C'由定义可知：注：相似多边形，相似三角形对应元素应写在对应的位置上。3.相似三角形的判定（1）预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形和原三角形相似。如图：△ABC中，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC（2）判定定理1：两角对应相等，两三角形相似如图：∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'∴△ABC∽△A'B'C'（3）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似如上图：∴△ABC∽△A'B'C'（4）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似如上图：∴△ABC∽△A'B'C'【典型例题】例1.如图，已知△ABC中，D是AB上一点，∠B＝∠ACD，求证：（1）；（2）若AD＝DB＝2，求AC的长。证明：（1）∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC（2）∵AD＝DB＝2，∴AB＝4∵AC>0例2.已知，如图，AA'，BB'，CC'相交于O点，且，求证：△ABC∽△A'B'C'。证明：在△AOB和△A'OB'中∴△AOB∽△A'OB'同理又∴△ABC∽△A'B'C'例3.已知，如图△ABC中，D是BC上一点，EG//BC，分别交AB、AD、AC于E，F、G，求证：EF·DC＝FG·BD分析：将等积式改写成比例式，得，设法利用相似三角形解得，，从而使问题得到解决。证明：在△AEF和△ABD中∵EF//BD∴△AEF∽△ABD同理∴EF·DC＝FG·BD例4.已知，如图△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E是AB中点，求证：分析：由于图中相等线段及线段中点较多，可设法利用三角形相似加以解决。证明：∵AB＝AC＝BD，AE＝EB又∵∠EAC＝∠DAC∴△AEC∽△ACD即例5.已知，如图平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，求证：BC·CD＝AF·CE分析：由于△ADF∽△CED，可得，再通过AD＝BC，由等量代换即可得证。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD//CE∴∠ADF＝∠E∴△ADF∽△CED∴BC·CD＝AF·CE例6.已知，如图AB、CD交于O点，AC//BD，E是AC中点，EO的延长线交BD于F点，求证：F是BD中点。分析：利用图中AE＝CE，设法找到DF、BF与AE、CE的联系，即证出证明：∵AC//BD∴△AOE∽△BOF同理∵AE＝CE∴BF＝DF即F是BD中点三.小结：在相似三角形成比例线段中，较线段相等线段多了。同学们要特别注意，另外同学们要注意方法的总结，证明相似三角形的方法，线段相等的方法，角相等的方法、比例式、等积式等比代换（如何选取中间比）【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.已知，如图平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于F，求证：BC·CD＝CF·AE。2.已知，如图△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F，求证：AE：ED＝2AF：FB。3.已知，如图△ABC中，D是BC上一点，EG//BC，分别交AB、AD、AC于E、F、G。求证：EF·DC＝FG·BD。4.已知，如图△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC延长线于F，求证：。5.已知，如图梯形ABCD中，AB//CD，AE//BC交BD的延长线于E，AC交BD于F，求证：FB2＝FD·FE。试题答案1.提示：证△ADE∽△CFD，得有AD·CD＝AE·CF，由AD＝BC可得结论。2.提示：过D作DM//CF交AB于M点。3.提示：证△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，可得，可得结论。4.提示：连结AF，证△ABF∽△ACF。5.提示：证△DFC∽△AFB，△AEF∽△CBF。
