2.7直角三角形全等的判定知识技能全解一．课程标准要求二．教材知识全解知能1直角三角形的判定方法——“HL”定理定理：斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等。（简称为“斜边、直角边”或“HL”.）友情提示：判定两个直角三角形全等的方法共有五种：SAS，AAS，ASA，SSS，HL.从中可以看出，无论哪一种都需一边相等，证明两个直角三角形全等时首先应考虑利用Hl来证，如不行再考虑用其他四种方法。例1．如图2-7-1所示，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上任意一点.求证：CE=DE.图2-7-1分析：CE、DE分别在△AEC和△AED中，也在△CEB和△DEB中，根据已知条件，只有AC=AD和公共边，全等的条件不足，其原因在于它们都不是特殊的三角形，因此，必须先证Rt△ABC和Rt△ABD全等入手，问题就可以得到解决。证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∴在Rt△ABC和Rt△ABD中∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.∴∠CAB=∠DAB（全等三角形的对应角相等）.在△AEC和△AED中∴△AEC≌△AED.∴CE=DE（全等三角形的对应边相等）.误区警示：有的同学误以为在∠ACB=∠ADB=90°的条件下，△AEC和△AED只需要AC=AD，AE=AE两条件就可证得全等。把直角三角形特有的判定方法“HL”用到了一般三角形的判定全等上，这种做法是错误的，需引起同学们注意。知能2角平分线的性质图2-7-2角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.推理形式：如图2-7-2，∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，∴PD=PE.友情提示：利用角平分线的性质定理可以证明两条线段相等，学习了该定理为证明线段相等开辟了新的途径，能够极大地简化证明过程。例2．如图2-7-3，在中，的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。图2-7-3分析：要证BM=CN，由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。考虑的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，于是连接PB、PC，则利用垂直平分线和角平分线的知识即可解决。证明：∵AP是角平分线，，，∴PM=PN（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.又∵PD是BC的垂直平分线，∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）∵PB=PC，PM=PN，故（HL）.方法总结：这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题。上述解答省去了两次全等的证明，相信同学们一定能体会到线段的垂直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性。典型例题全解一．知能综合题二．实践应用题1．数学与生活点拨：本题给出了测量河宽的一种方法，即通过三角形全等进行求解，希望同学们掌握本题的解题思路，这对以后的学习将会起到一定的帮助。方法总结：解答本题需要充分掌握数学建模思想，把生活实际问题转化为数学问题进行解决。三．拓展创新题误区警示：本题考查了全等、直角三角形和等腰三角形的知识，综合性较强，解答时要注意理清思路。挑战课标中考一．中考考点点击直角三角形全等的判定在中考中主要考查会利用判定定理证明两个直角三角形全等及相关问题，题型多以证明题、解答题的形式出现。二．中考典题全解知能整合提升一．知识梳理四．同步跟踪训练课后习题全解
