1．(2011年高考福建卷)设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为，求f(θ)的值；(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得于是f(θ)＝sinθ＋cosθ＝×＋＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．于是0≤θ≤.又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)，且≤θ＋≤，故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.2．已知函数f(x)＝kx＋b，－1≤x≤1，k，b∈R，且是常数．若k是从－2，－1,0,1,2五个数中任取的1个数，b是从0,1,2三个数中任取的1个数，求函数y＝f(x)是奇函数的概率．解：函数f(x)为奇函数的条件是b＝0，基本事件共有5×3＝15个，设事件A：“函数y＝f(x)是奇函数”，则事件A包含的基本事件是(－2,0)，(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．所以P(A)＝＝.3.如图所示，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，E为棱CC1上的动点，F是线段AB的中点，AC＝BC＝2，AA1＝4.(1)求证：CF⊥平面ABB1；(2)当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；(3)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A－EB1－B的大小是45°？若存在，求CE的长；若不存在，说明理由．解：(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱B1B⊥底面ABC，∵CF⊂平面ABC，∴B1B⊥CF.∵AC＝BC，F是线段AB的中点，∴CF⊥AB.∵AB，B1B是平面ABB1内两相交直线，∴CF⊥平面ABB1.(2)证明：如图所示，取AB1的中点D，连接ED，DF.∵DF是△ABB1的中位线，∴DF綊B1B.∵E是棱CC1的中点，∴EC綊B1B.∴DF綊EC.∴四边形EDFC是平行四边形．∴CF∥ED.∵CF⊄平面AEB1，ED⊂平面AEB1，∴CF∥平面AEB1.(3)假设存在点E，使二面角A－EB1－B的大小为45°，由于∠ACB＝90°，易证AC⊥平面BEB1，过C点作CK⊥直线B1E于K，连接AK，则∠AKC为二面角A－EB1－B的平面角，∴∠AKC＝45°.∴CK＝AC＝2，设CE＝x，则＝，x＝，故线段CE＝.综上，在棱CC1上存在点E，使得二面角A－EB1－B的大小是45°，此时CE＝.4．(2011年高考四川卷)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．解：由已知，得an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a，S4＝a.当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.解得q＝.若q＝1，则{an}的各项均为a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn.因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1＝2aqn＋k－1＝2an＋k.所以，am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．5．(2011年高考北京卷)已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．解：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为e＝＝.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为，，此时|AB|＝.当m＝－1时，同理可得|AB|＝.当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由，得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝＝＝＝.由于当m＝±1时，|AB|＝，所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.6．已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exlnx．(e≈2.71828)(1)设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋(e－1)y＝1垂直，求a的值；(2)若对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，试确定实数a的取值范围．解：(1)由题知，f′(x)＝ex＋a.因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为，∴(e＋a)＝－1，∴a＝－1.(2)∵当x≥0时，f(x)＝ex＋ax>0恒成立；∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝ex＋ax>0恒成立．若x>0，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>－恒成立．设Q(x)＝－，Q′(x)＝－＝.当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e，∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．
