一、选择题1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝()A．1024B．1023C．2048D．2047解析：选B.依题意an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1，则a10＝210－1＝1023，故选B.2．(2010年高考江西卷)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解析：选A.设数列{an}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.由|a1|＝1，得a1＝±1.当a1＝－1时，a5＝－16
a2＝－2，符合题意，故an＝a1qn－1＝(－2)n－1.3．如表定义函数f(x)：x12345f(x)54312对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，则a2011的值是()A．1B．2C．4D．5解析：选D.a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝1，a7＝5，…∴a2011＝a4×502＋3＝a3＝5.4．已知递增数列{an}满足a1＝6，且an＋an－1＝＋8(n≥2)，则a70＝()A．29B．25C．63D．9解析：选A.a－a＝9＋8(an－an－1)，整理得(an－4)2－(an－1－4)2＝9.∴数列{(an－4)2}构成首项为4，公差为9的等差数列，且(an－4)2＝4＋(n－1)9＝9n－5，∴an－4＝，an＝4＋，∴a70＝4＋＝29.5．等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是()解析：选C.∵Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．二、填空题6．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．解析：由于d<0，故a3>0，a9<0，由已知|a3|＝|a9|⇒a3＋a9＝0，由a3＋a9＝2a6⇒a6＝0，故数列的前5项或前6项和最大．答案：5或67．在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝a(n∈N*)，则数列{an}的通项an＝________.解析：由an＋1＝a，得lgan＋1＝lga，即lgan＋1＝2lgan，故{lgan}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，所以lgan＝2n－1·lg3＝lg32n－1,所以，an＝32n－1.答案：32n－18．(2011年高考陕西卷)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁．此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2000.答案：2000三、解答题9．(2011年高考课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q>0，故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－＝－.故＝－＝－2，＋＋…＋＝－2＝－.所以数列{}的前n项和为－.10．已知函数f(x)＝ax的图象过点(1，)，且点(n－1，)(n∈N*)在函数f(x)＝ax的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋1－an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn<5.解：(1)∵函数f(x)＝ax的图象过点(1，)，∴a＝，f(x)＝()x.又点(n－1，)(n∈N*)在函数f(x)＝ax的图象上，从而＝，即an＝.(2)证明：由bn＝－＝得，Sn＝＋＋…＋，则Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得：Sn＝＋2(＋＋…＋)－，∴Sn＝5－，∴Sn<5.11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；(2)设数列{}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<；(3)是否存在自然数n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2011？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，∴数列{an}是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列．于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N*)．(2)证明：Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝<＝.又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，于是，≤Tn<.(3)由Sn＝nan－2n(n－1)，得＝2n－1(n∈N*)，∴S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2011，得n＝＝1006，即存在满足条件的自然数n＝1006.
