[1]质量分别为VIP免费

第六章：中心力场[1]质量分别为m1,m2的两个粒子组成的体系，质心座标R及相对座标r为：R=m1r1+m2r2m1+m2(1)rr=r2−r1(2)试求总动量P=p1+p2及总角动量L=l1+l2在R,r表象中的算符表示。1.[解]（a）合动量算符P=p1+p2。根据假设可以解出r1，r2令m≡m1+m2：r1=R−m2m1r（３）r2=R+m1m2r（４）设各个矢量的分量是r1(x1,y1,z1)，r2(x2,y2,z2),r(x,y,z)和R(X,Y,Z)。为了计算动量的变换式先求对x1，x2等的偏导数：∂∂x1=∂X∂x1∂∂X+∂x∂x1∂∂x=m1m∂∂X−∂∂x（5）∂∂x2=∂X∂x2∂∂X+∂x∂x2∂∂x=m2m∂∂X+∂∂x（6）关于∂∂y1，∂∂y2，∂∂z1，∂∂z2可以写出与（5）（6）类似的式子，因而：Px^¿=(p1^¿+p2^¿)x=p^¿1x+p^¿2x=ℏi(∂∂x1+∂∂x2)¿¿¿¿¿=ℏi(m1m∂∂X−∂∂x+m2m∂∂X+∂∂x)=ℏi∂∂XP^¿=iℏi∂∂X+jℏi∂∂Y+kℏi∂∂Z=ℏi∇R¿(b)总角动量L^¿=l1^¿+l2^¿=ℏi(r1×∇1+r2×∇2)¿¿¿Lx^¿=ℏi(r1×∇1+r2×∇2)x¿=ℏi(y1∂∂z1−z1)+ℏi(y2∂∂z2−z2∂∂y2)利用（3），（4），（5），（6）：L^¿x=ℏi¿¿¿−(Z−m2mz)(m1m∂∂Y−∂∂y)+(Y+m1my)(m2m∂∂Z+∂∂z)−(Z+m1mz)(m2m∂∂Y+∂∂y)¿¿=ℏi¿¿−m1m2m(y∂∂Z−z∂∂Y)+m2m(y∂∂z−z∂∂y)+m2m(Y∂∂Z−Z∂∂Y)+(Y∂∂z−Z∂∂y)+m1m2m2(y∂∂Z−z∂∂Y)+m2m(y∂∂z−z∂∂y)¿¿=ℏi{(Y∂∂Z−Z∂∂Y)+(y∂∂z−z∂∂y)}=(ℏiR×∇R+ℏir×∇r)x因而L^¿=ℏiR×∇R+ℏi⃗r×∇r¿[2]证明12[∇2,r]=1r+∂∂r，12[∇2,r]=∇（证明）第一式12(∇2r−r∇2)ψ=12(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)(√x2+y2+z2ψ)−12√x2+y2+z2(∂2ψ∂x2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2)但∂∂x(√x2+y2+z2ψ)=xψ√x2+y2+z2+√x2+y2+z2∂ψ∂x∂2∂x2(√x2+y2+z2ψ)=∂∂x(xψ√x2+y2+z2+√x2+y2+z2∂ψ∂x)=(x2+y2+z2)(x∂ψ∂x+ψ)−x2ψ(x2+y2+z2)3/2+x∂ψ∂x(x2+y2+z2)3/2+√x2+y2+z2∂2ψ∂x2即∂2∂x2√x2+y2+z2ψ−√x2+y2+z2∂2ψ∂x2=2x∂ψ∂x+ψ√x2+y2+z2−x2ψ(x2+y2+z2)3/2同样写出关于y,z的式子，相加得：12(∇2r−r∇2)ψ=12¿¿+3ψ−ψ√x2+y2+z2¿¿=xr∂ψ∂x+yr∂ψ∂y+zr∂ψ∂z+ψr=(∂∂r+1r)ψ因ψ是任意函数，因而第一式得证。第二式的证明：该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量并蒋它运算于任何函数ψ，要注意∇2标量算符而r是矢量算符：12[∇2,r]xψ=12(∇2xψ−x∇2ψ)=12¿¿−x(∂2ψ∂x2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2)}=12(x∂2ψ∂x2+2∂ψ∂x+x∂2ψ∂y2+x∂2ψ∂z2)−x∂2ψ∂x2−x∂2ψ∂y2−x∂2ψ∂z2¿=∂Ψ∂x¿因此在出写出关于y,z的式子后有12[∇2,r]=i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z=∇[3]中心力场V(r)中的经典粒子的哈密顿量是H=pr22m+l22mr+V(r)其中p^¿r=1rr⋅p¿。当过渡到量子力学时，pr要换为p^¿r=12[1rr⋅p+p⋅r1r]=−ℏi(∂∂r+1r)¿问−ℏi∂∂r=1rr⋅p是否厄米算符？p^¿r¿是否厄米算符。（解）对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式（A^¿¿B^¿¿C^¿¿）+=C+^¿B+^¿A+^¿¿¿¿若p^¿r=1rr⋅p¿,则pr+^¿=(1r⋅r^¿⋅p^¿)+=p+^¿⋅r+⋅(1r)+¿¿¿¿因为p^¿¿,r,1r等自身是厄米的,因而有p^¿r=p^¿⋅r^¿(1r)¿¿¿要看出pr+^¿¿,p^¿r¿的关系将p^¿r¿作用于任意函数ψ：(p^¿⋅r^¿1r)ψ=pxx1rψ+pyy1rψ+pzz1rψ¿¿=ℏi{∂∂x(xrψ)+∂∂y(yrψ)+∂∂z(zrψ)}=ℏi{1r(x∂ψ∂x+y∂ψ∂y+z∂ψ∂z)+2ψr}=(1rr^¿⋅p^¿+2r)ψ¿¿即pr+^¿=p^¿+2r¿¿，因而p^¿r¿不是厄米算符。因为p^¿r≠pr+^¿¿¿利用以上结果，或者直接对pr^¿¿取厄米共轭式，都证明p^¿r=pr+¿因此可认为p^¿r¿是厄米的，证明在后面，但是关于这问题学术上有争论，因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。C¿f¿R¿L¿Liboff:AmericanJournalofPhysics976(1973)(p^¿r)+=12[1rr^¿⋅p^¿+p^¿⋅r^¿1r]+¿¿¿¿¿=12(p+^¿⋅r+^¿⋅(1r)+^¿+(1r)+^¿r+^¿p+¿¿¿¿¿¿¿=12[p^¿⋅r^¿1r+1rr^¿⋅p^¿]=pr^¿¿¿¿¿¿C¿f¿A¿Messian:QuantumMecnanicsP¿346(1961)[4]经典力学中l2=(r×p)2=r2⋅p2−(r⋅p)2在量子力学中此式是...