第1页共12页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共12页信号及其描述习题1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω；φn—ω图并与表1-1对比。解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)=∑n=−∞+∞Cnejnω0t;n=0,±1,±2,±3,⋅¿⋅¿¿式中：所以：幅值频谱：相位频谱：傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。1.2求正弦信号x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x|和均方根值xrms解：1.3求指数函数的频谱。解：Cn=1T0∫−T02T02x(t)e−jnω0tdt=1T0[∫−T020(−A)e−jnω0tdt+∫0T02Ae−jnω0tdt]¿1T0[−A−jnω0e−jnω0t]−T020+1T0[A−jnω0e−jnω0t]0T02¿−jAnπ+jAnπ×12[e−jnπ+ejnπ]=−jAnπ(1−cosnπ)¿{−j2Anπ;n=±1,±3,±5,⋅¿⋅0;n=±2,±4,±6,⋅¿⋅x(t)=∑n=−∞+∞(−j2Anπ)ejnω0t;n=±1,±3,±5,±7,⋅¿⋅|Cn|=√CnR2+CnI2=2Anπ;n=±1,±3,±5,⋅¿⋅ϕn=arctgCnICnR=arctg(−2Anπ0)=¿¿μ|x|=limT→∞∫0Tx(t)dt=1T0∫0T0x0sinωtdt=2x0π;式中：T0=2πωxrms=√1T0∫0T0x2(t)dt=√1T0∫0T0(x0sinωdt)2dt=x0√2x(t)=Ae−αt;(α>0;t≥0)X(f)=∫−∞+∞x(t)e−j2πftdt=∫0+∞Ae−αt⋅e−j2πftdt=Aα+j2πf第2页共12页第1页共12页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共12页1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱.解:1)符号函数的频谱:令:2)单位阶跃函数的频谱:1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。解：1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）：的频谱解：1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t，(ω0>ωm)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？解：x1(t)=limα→0e−α|t|x(t);X1(f)=∫x1(t)e−j2πftdt=limα→0(∫−∞0e−α|t|(−1)e−j2πftdt+∫0+∞e−α|t|e−j2πftdt)=1jπfx2(t)=limα→0e−α|t|x(t);X2(f)=∫x2(t)e−j2πftdt=limα→0(∫0+∞e−α|t|e−j2πftdt)=1j2πfx(t)={cosω0t;|t|0,t≥0)X(f)=∫−∞+∞x(t)e−j2πftdt=∫0+∞(e−αtsin2πf0t)e−j2πftdt=∫0+∞e−αt⋅j2(e−j2πf0t−ej2πf0t)e−j2πftdt=j2(1α+j2π(f+f0)−1α+j2π(f−f0))X(f)=∫−∞+∞x(t)e−j2πftdt=∫−∞+∞[f(t)cos2πf0t]⋅e−j2πftdt=∫−∞+∞f(t)[12(e−j2πf0t+ej2πf0t)]¿e−j2πftdt=12F(2πf+2πf0)+12F(2πf−2πf0)第3页共12页第2页共12页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共12页当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx和均方值φx2和概率密度函数p(x)解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/x0)等式两边对x求导数：2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值误差将是多少？解：H(ω)=1jτω+1=10.35ωj+1=Y(ω)X(ω)A(ω)=1√1+(0.35ω)2=1√1+(0.7π7)2当T=1s时，A(ω1)=0.41，即AY=0.41Ax，误差为59%当T=2s时，A(ω2)=0.67，误差为33%当T=5s时，A(ω3)=0.90，误差为8%2.3求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t−45∘)，通过传递函数为H(s)=10.05s+1的装置后所得到的稳态响应。解：利用叠加原理及频率保持性解题x(t)=0.5sin(10t+90∘)+0.2sin(100t+45∘)dtdx=1ω01x0√1−(x(t)x0)2=1ω0√x02−x2(t)p(x)=limΔx→01Δx[limT→∞TxT]=limΔx→01Δx⋅2ΔtT=2T⋅dtdx=1π√x02−x2(t)第4页共12页第3页共12页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共12页A(ω)=11+(τω)2=1√1+(0.005ω)2，φ(ω)=−arctg(0...
