第2课时利用导数探究函数零点问题[基础题组练]1．已知函数f(x)＝x2－2x＋1，g(x)＝xf(x)＋bx2＋a，若g′(x)＝0在区间上有解，则实数b的取值范围为()A．(－1，2)B．(1，2)C．[1，2)D．(0，2－]解析：选D.易知g(x)＝x3＋(b－2)x2＋x＋a，则g′(x)＝3x2＋2(b－2)x＋1，因为g′(x)＝0在区间上有解，所以Δ＝4(b－2)2－12≥0，即b≥2＋或b≤2－，同时2(b－2)＝－∈(－4，－2]，所以0＜b≤2－，从而实数b的取值范围为(0，2－]．2．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A．(2，∞＋)B．(∞－，－2)C．(1，∞＋)D．(∞－，－1)解析：选B.f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(∞－，0)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：不符合题意，排除A，C.当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，∞＋)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．不符合题意，排除D.故选B.3．设函数f(x)＝x3－bx＋c(b，c∈R)．(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，求b，c的值；(2)若b＝1，c＝，求证：f(x)在区间(1，2)内存在唯一零点．解：(1)由题意得f′(x)＝x2－b，所以f′(1)＝1－b＝2，得b＝－1.又因为f(1)＝2＋1＝3，所以－b＋c＝3，得c＝.故b＝－1，c＝.(2)证明：若b＝1，c＝，则f(x)＝x3－x＋.因为f(1)f(2)＝－×1＜0，所以f(x)在区间(1，2)内存在零点．又当x∈(1，2)时，f′(x)＝x2－1＞0，所以f(x)在(1，2)上单调递增．所以f(x)在区间(1，2)内存在唯一零点．4．已知函数f(x)＝a＋lnx(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)试判断f(x)的零点个数．解：(1)函数f(x)的定义域是(0，∞＋)，f′(x)＝()′lnx＋·＝，令f′(x)＞0，解得x＞e－2，令f′(x)<0，解得0
