第1讲平面向量的概念及线性运算[基础题组练]1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.2．在下列选项中“，a∥b”的充分不必要条件是()A．a，b都是单位向量B．|a|＝|b|C．|a＋b|＝|a|－|b|D．存在不全为零的实数λ，μ，使λa＋μb＝0解析：选C.a，b都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A错误；|a|＝|b|但方向不定，故B错误；|a＋b|＝|a|－|b|，若a，b都是非零向量，则a，b反向共线，且|a|≥|b|；若a，b中恰有一个零向量，则a≠0，b＝0；若a＝b＝0，则a，b也符合|a＋b|＝|a|－|b|，“所以|a＋b|＝|a|－|b|”⇒“a∥b”，“而a∥b”⇒“|a＋b|＝|a|－|b|”，故C正确；D“选项中存在不全为零的实数λ，μ，使λa＋μb＝0”⇔“a∥b”．3．已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部解析：选C.由PA＋PB＋PC＝AB得PA＋PB＋PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故点P在线段AC上．4．(2019·山东临沂模拟)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：选D.因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC.设AB＝mAC(m≠0)，所以所以λμ＝1，故选D.5．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8＋5＝13；当AB，AC不共线时，3<|BC|<13.综上可知3≤|BC|≤13.答案：[3，13]6．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案：b－a－a－b7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．所以正确命题的序号为②③④.答案：38．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若AB＝a，BC＝b，AB＝2DC.(1)用a，b表示AM；(2)证明A，M，C三点共线．解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋＝a＋b，又E为AD中点，所以AE＝AD＝a＋b，因为EF是梯形的中位线，且AB＝2DC，所以EF＝(AB＋DC)＝＝a，又M，N是EF的三等分点，所以EM＝EF＝a，所以AM＝AE＋EM＝a＋b＋a＝a＋b.(2)证明：由(1)知MF＝EF＝a，所以MC＝MF＋FC＝a＋b＝AM，又MC与AM有公共点M，所以A，M，C三点共线．[综合题组练]1．(2019·广州市综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是()A.B.C.D.解析：选B.因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①OA＋2OB；②OA＋OB；③OA＋OB；④OA＋OB；⑤OA－OB.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()A．①②B．②④C．①③D．③⑤解析：选B.在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则OD＝OA＋2OB，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF
