函数的简单性质奇偶性VIP专享VIP免费

函数的简单性质——奇偶性教学目标：理解奇函数、偶函数的概念，并学会使用定义判断函数的奇偶性，并初步体会函数奇偶性的简单应用，如使用奇偶性，求解析式、作图像等。重点难点：函数奇偶性的判断和证明问题情境：课本上的图，生活中的对称现象．在你学过的函数中，有没有具有对称性的函数图象，举例说明．问题1：观察下列函数的图象，从对称的角度你发现了什么？yyyx2观察得到：函数yx的图象关于对称，函数y称．问题2：点(x0,y0)关于y轴的对称点是点(x0,y0)关于原点的对称点是．问题3：如果函数yf(x)的图象关于y轴对称，把此图象沿y轴对折，那么图象上的点2OxO(2)(1)1yxx1的图象关于对x(x0,f(x0))与图象上的哪一个点重合？由此可得什么结论？观察、讨论得到：偶函数的定义：类似给出奇函数的定义：思考：一个函数既能够是奇函数和偶函数吗？说明：1．如果函数yf(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数yf(x)具有；根据奇偶性可将函数分为四类：2．注意：等关键词，奇偶性是函数的整体性质，对定义域内都必须成立；3．奇函数的图像对称，偶函数的图像对称；4．f(x)f(x)f(x)f(x)0，f(x)f(x)f(x)f(x)0；5.奇±奇=偶±偶=奇×奇=偶×偶=奇×偶=（两函数的定义域有公共定义域）思考：已知函数yf(x)是定义域为R的奇函数，f(0)的值为;已知函数yf(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x).【奇偶性证明】例1．判断下列函数是否是奇函数或偶函数：（1）f(x)x1；（2）f(x)2x；（3）f(x)2|x|；22（4）f(x)x5x；（5）f(x)(x1)；（6）f(x)31．x1归纳：判断函数是否是奇函数或偶函数的基本步骤：（1）（2）（3）说明：在定义域关于“0”对称的前提下，要说明一个函数既不是奇函数也不是偶函数，应该通过计算具体的函数值来说明．判别下列函数的奇偶性：①f(x)＝1x＋1x②f(x)3x2③f(x)(x1)x231x2④f(x)xxa21xx22x3,(x0)x2x,(x0)⑤f(x)=2⑥f(x)2x2x3,(x0)xx,(x0)例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0,①求证：f(0)=1,②求证：y=f(x)是偶函数.变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。例3．设函数fx在定义域1,1是奇函数，当x1,0时，fx3x.2求函数的解析式.巩固练习1．定义运算ab为.2xx,x02．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.2axbx,x0a2b2,ab(ab)2,则函数f(x)2x的奇偶性(x2)23．函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则f(2)＝________．x2x124.已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.x2135．已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)＝____________6．设偶函数f(x)满足：当x0时，f(x)x8，则{x|f(x2)0}＝__________.7．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.8．若函数f(x)32x的图像关于原点对称，则a(2x1)(xa)29．若函数f(x)＝x－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.10．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________．(填写序号)①f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)②f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)③f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)④f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)211．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数．当x<0时，f(x)x4则x0时,f(x)的解析式为；不等式f（x）<0的解集为.212．已知函数f(x)＝x＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________；不等式f(x－1)＜|x|的解集为________．13．判断下列函数的奇偶性：11－x2(1)f(x)＝x－；(2)f(x)＝；x|x＋2|－2314．已知定义在R上函数f(x)xb为奇函数．2xax1（1）求ab的值；（2）求函数f(x)的值域．15．已知函数f(x)x1.x（1）判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f(x)在区间[2,a]上的最大值与最小值之和不小于围.11a2，求a的取值范2a