题型练6大题专项(四)立体几何综合问题题型练第60页1.如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∠ABE=60°,G为BE的中点.(1)求证:AG⊥平面ADF;(2)若AB=√3BC,求二面角D-CA-G的余弦值.(1)证明 矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∴AD⊥AB. 矩形ABCD∩菱形ABEF=AB,∴AD⊥平面ABEF. AG⊂平面ABEF,∴AD⊥AG. 菱形ABEF中,∠ABE=60°,G为BE的中点,∴AG⊥BE,即AG⊥AF. AD∩AF=A,∴AG⊥平面ADF.(2)解由(1)可知AD,AF,AG两两垂直,以A为原点,AG所在直线为x轴,AF所在直线为y轴,AD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=√3BC=√3,则BC=1,AG=32,故A(0,0,0),C32,-√32,1,D(0,0,1),G(32,0,0),则⃗AC=(32,-√32,1),⃗AD=(0,0,1),⃗AG=(32,0,0),设平面ACD的法向量n1=(x1,y1,z1),则{n1·⃗AC=32x1-√32y1+z1=0,n1·⃗AD=z1=0,取y1=√3,得n1=(1,√3,0),设平面ACG的法向量n2=(x2,y2,z2),则{n2·⃗AC=32x2-√32y2+z2=0,n2·⃗AG=32x2=0,取y2=2,得n2=(0,2,√3).设二面角D-CA-G的平面角为θ,则cosθ=n1·n2|n1||n2|=2√32×√7=√217,易知θ为钝角,∴二面角D-CA-G的余弦值为-√217.2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.解:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{⃗OB,⃗OC,⃗OO1}为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(√3,0,2),C1(0,1,2).(1)因为P为A1B1的中点,所以P(√32,-12,2),从而⃗BP=(-√32,-12,2),⃗AC1=(0,2,2),故|cos<⃗BP,⃗AC1>|=|⃗BP·⃗AC1||⃗BP||⃗AC1|=|-1+4|√5×2√2=3√1020.因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为3√1020.(2)因为Q为BC的中点,所以Q(√32,12,0),因此⃗AQ=(√32,32,0),⃗AC1=(0,2,2),⃗CC1=(0,0,2).设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,则{⃗AQ·n=0,⃗AC1·n=0,即{√32x+32y=0,2y+2z=0.不妨取n=(√3,-1,1).设直线CC1与平面AQC1所成角为θ,则sinθ=|cos<⃗CC1,n>|=|⃗CC1·n||⃗CC1||n|=2√5×2=√55,所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为√55.3.在四棱锥P-ABCD中,BC=BD=DC=2√3,AD=AB=PD=PB=2.(1)若点E为PC的中点,求证:BE∥平面PAD.(2)当平面PBD⊥平面ABCD时,求二面角C-PD-B的余弦值.(1)证明取CD的中点为M,连接EM,BM.由已知得,△BCD为等边三角形,BM⊥CD. AD=AB=2,BD=2√3,∴∠ADB=∠ABD=30°,∴∠ADC=90°,∴BM∥AD.又BM⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BM∥平面PAD. E为PC的中点,M为CD的中点,∴EM∥PD.又EM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EM∥平面PAD. EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD. BE⊂平面BEM,∴BE∥平面PAD.(2)解连接AC,交BD于点O,连接PO,由对称性知,O为BD的中点,且AC⊥BD,PO⊥BD. 平面PBD⊥平面ABCD,PO⊥BD,∴PO⊥平面ABCD,PO=AO=1,CO=3.以O为坐标原点,⃗OC的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则D(0,-√3,0),C(3,0,0),P(0,0,1).易知平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0).设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),则n2⊥⃗DC,n2⊥⃗DP,∴{n2·⃗DC=0,n2·⃗DP=0. ⃗DC=(3,√3,0),⃗DP=(0,√3,1),∴{3x+√3y=0,√3y+z=0.令y=√3,得x=-1,z=-3,∴n2=(-1,√3,-3),∴cos=n1·n2|n1||n2|=-1√13=-√1313.设二面角C-PD-B的大小为θ,则cosθ=√1313.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=√2.(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求PA与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D?(1)证明如图建立空间直角坐标系.设棱长AA1=a,则D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).于是⃗PD=(0,-1,-1),⃗PB=(3,1,-1),⃗PC=(0,1,-1),所以⃗PD·⃗PB=0,⃗PD·⃗PC=0.所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和PB,由线面垂直的判定定理,得PD⊥平面PBC.(2)解A(3,0,a),⃗PA=(3,-1,-1),而平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1),所以cos<⃗PA,n1>=-1√11×1=-√1111.所以PA与平面ABCD所成角的正弦值为√1111.所以PA与平面ABCD所成角的正切值为√1010.(3)解因为D(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a),所以⃗D...
