第九章解析几何高考中解析几何问题的热点题型圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点一圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．[考查角度一]圆锥曲线中的定点问题[典题1]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．(1)[解]因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)[证明]①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky2－4y＋4b＝0.根据根与系数的关系得yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0，即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．[2017·河南洛阳模拟]设M是焦距为2的椭圆E：＋＝1(a>b>0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)在点N(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．解：(1)由题意，2c＝2，c＝1，A(－a,0)，B(a,0)，设M(x，y)， k1k2＝－，∴·＝－，即＝－. M(x，y)在椭圆E上，∴＋＝1，∴＝－，∴＝，∴a2＝2b2.又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝2，b2＝1.∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设切点坐标为C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)．则切线方程分别为＋y1y＝1，＋y2y＝1. 两切线均过点P，∴＋ty1＝1，＋ty2＝1，即x1＋ty1＝1，x2＋ty2＝1，∴直线CD的方程为x＋ty＝1.对于任意实数t，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD恒过定点(1,0)．[考查角度二]圆锥曲线中的定值问题[典题2]如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．(1)[证明]依题意，设直线AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝x，直线BD的方程为x＝x2.解得交点D的坐标为，注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2.因此点D在定直线y＝－2上(x≠0)．(2)[解]依题意知，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为N1，N2，则|MN2|2－|MN1|2＝2＋42－2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.1．解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值．第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论．第三步：下结论，综合上面两种情况定结论．2．求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理...
