课时跟踪检测(三十八)[高考基础题型得分练]1．下列不等式一定成立的是()A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)答案：C解析：当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lgx(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()A.B．4C.D．5答案：C解析：依题意，得＋＝·(a＋b)＝≥＝，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，即＋的最小值是.3．[2017·江西南昌一模]若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.>B．＋≤1C.≥2D．≤答案：D解析： a＞0，b＞0，且a＋b＝4，∴4＝a＋b≥2，∴≤2，即ab≤4.A项， ab≤4，∴≥，故A不恒成立；B项， ab≤4＝a＋b，∴＋≥1，故B不恒成立；C项， ≤2，∴C不恒成立；D项， 2＝≤，∴a2＋b2≥8，∴≤，∴D恒成立．4.(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B．C．3D．答案：B解析：解法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．解法二：＝≤，当且仅当a＝－时等号成立．5．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是()A．4B．3C．2D．1答案：D解析：＋＝≥＝，当且仅当x＝y时等号成立． log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.∴＋≥＝1.6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＝0，∴v>a.7．已知x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy()A．有最大值eB．有最大值C．有最小值eD．有最小值答案：C解析： x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，∴lnx·lny＝≤2，∴lnx＋lny＝lnxy≥1⇒xy≥e.8．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为()A．0B．1C.D．3答案：B解析：由已知，得z＝x2－3xy＋4y2，(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时等号成立，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.9．[2017·河南开封模拟]已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．答案：解析： 圆关于直线对称，∴直线过圆心(－1,2)，即a＋b＝1.∴ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．10．[2017·广东东莞模拟]函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．答案：8解析：函数y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，又点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.∴＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥8，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．11．[2017·山东潍坊模拟]已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的取值范围是________．答案：(0，＋∞)解析：由题意知，(b,1)到x＋y＋a＝0的距离为，即＝，得a＋b＝1，a＝1－b，＝＝＝(b＋1)＋－4≥2－4＝0，当且仅当b＝1，a＝0时等号成立，又a＞0，b＞0，所以＞0.12．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．答案：2解析：依题意，得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时等号成立)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.[冲刺名校能力提升练]1．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A.B．2C.D．2答案：D解析： x＞0，y＞0，x＋2y≥2，∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2，∴4≤4xy－2，即(－2)(＋1)≥0，∴≥2，∴xy≥2.2．[2017·重庆巴蜀中学模拟]若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是()A．1B．C．9D．16答案：B解析：＋＝＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故选B.3．[2017·河北唐山一模]已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，求z＝x2＋4y2的取值范围．解： 2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，∴6－(x2＋4y2)≤，∴x2＋4y2≥4，当且仅当|x|＝2|y|时等号成立．又 (x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12...
