课时跟踪检测(五十一)[高考基础题型得分练]1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B.C．2D．4答案：A解析：由题意知，a2＝，b2＝1，且a＝2b，∴＝4，∴m＝.2．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为()A.B.C.或D.或答案：C解析：因为实数4，m,9构成一个等比数列，所以可得m2＝36，解得m＝6或m＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即＋y2＝1的方程为＋y2＝1，所以a2＝6，b2＝1，则c2＝a2－b2＝5，所以离心率e＝＝＝.当曲线是双曲线时，可求得离心率为.3．[2017·河北邯郸一模]椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍答案：A解析：设线段PF2的中点为D，则|OD|＝|PF1|且OD∥PF1，OD⊥x轴，∴PF1⊥x轴．∴|PF1|＝＝＝.又 |PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF2|＝4－＝.∴|PF2|是|PF1|的7倍．4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则F1P·F2A的最大值为()A.B.C.D.答案：B解析：设向量F1P，F2A的夹角为θ.由条件知，|AF2|为椭圆通径的一半，即|AF2|＝＝，则F1P·F2A＝|F1P|cosθ，于是F1P·F2A要取得最大值，只需F1P在F2A上的投影值最大，易知此时点P为椭圆短轴的上顶点，所以F1P·F2A＝×|F1P|cosθ≤.故选B.5．[2017·陕西西安质量检测]已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1答案：C解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆C的方程是＋＝1，故选C.6．[2017·甘肃兰州诊断]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e＝()A.B.C.D.答案：A解析：设椭圆C的焦距为2c(c
0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．答案：＋＝1解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4，①e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆的方程为＋＝1.9．[2017·湖南长沙一模]椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案：－1解析：依题意得∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，设|MF1|＝m，则有|MF2|＝m，|F1F2|＝2m，该椭圆的离心率是e＝＝－1.10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2,0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．解：(1)由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)设点T的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以OP＝QT，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．所以解得m＝±1.此时，S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF||y1－y2|＝2＝2.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·广东汕头一模]已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A．3个B．4个C．6个D．8个答案：C解析：当∠PF1F2为直...
