高三数学二轮复习 第1部分 专题2 突破点5 数列的通项与求和 理-人教高三数学试题VIP免费

突破点5数列的通项与求和提炼1an和Sn的关系若an为数列{an}的通项，Sn为其前n项和，则有an＝在使用这个关系式时，一定要注意区分n＝1，n≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.提炼2求数列通项常用的方法(1)定义法：①形如an＋1＝an＋c(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如an＋1＝kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．(2)叠加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)…＋＋(an－an－1)，求其通项公式．(3)叠乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通项公式．(4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解．(5)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解．(6)取对数法：形如an＋1＝pa(p>0，an>0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.提炼3数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法．回访1an与Sn的关系1．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.－ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.又Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即Sn＝－.]2．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.(－2)n－1当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－＝(an－an－1)，∴an＝－2an－1，即＝－2，∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]回访2数列求和3．(2015·全国卷Ⅰ改编)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3，则(1){an}的通项公式为__________；(2)设bn＝，则数列{bn}的前n项和为__________．(1)an＝2n＋1(2)(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2…＋＋bn＝＝.]4．(2012·全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．1830 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1…，，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2…＋＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)…＋＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42…＋＋234＝＝1830.]热点题型1数列中的an与Sn的关系数列中的an与Sn的关系题型分析：以数列中an与Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力.数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．【导学号：85952024】解]由已知，当n≥2时，＝1，所以＝1，2分即＝1，所以－＝.4分又S1＝a1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，6分所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.8分所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.10分因此an＝12分给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证n＝1时的情形．变式训练1](1)(2016·合肥三模)已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.(2)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn＋2＝3an(n∈N*)，...