高三数学二轮复习 第1部分 专题6 突破点18 导数的应用（酌情自选）用书 理-人教高三数学试题VIP免费

突破点18导数的应用(酌情自选)提炼1导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减．(2)常数函数的判定方法如果在某个区间(a，b)内，恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)是常数函数，在此区间内不具有单调性．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).提炼2函数极值的判别注意点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，当x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．(3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值.提炼3函数最值的判别方法(1)求函数f(x)在闭区间a，b]上最值的关键是求出f′(x)＝0的根的函数值，再与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)求函数f(x)在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f(x)的单调性，即可得结论．回访1导数与函数的单调性1．(2016·全国乙卷)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(∞∞－，＋)单调递增，则a的取值范围是()A．－1,1]B.C.D.C取a＝－1，则f(x)＝x－sin2x－sinx，f′(x)＝1－cos2x－cosx，但f′(0)＝1－－1＝－＜0，不具备在(∞∞－，＋)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(∞－，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1∞，＋)C．(∞－，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1∞，＋)A设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0∞，＋)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,00，x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(∞－，－1)∪(0,1)，故选A.]回访2函数的极值与最值3．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A．(2∞，＋)B．(∞－，－2)C．(1∞，＋)D．(∞－，－1)Bf′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(∞－，0)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示．(1)不符合题意，排除A、C.当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0∞，＋)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．(2)不符合题意，排除D.]4．(2016·北京高考)设函数f(x)＝(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．2a<－1由当x≤a时，f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象．(1)若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2.(2)当a≥－1时，f(x)有最大值；当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以a<－1.]热点题型1利用导数研究函数的单调性问题题型分析：利用导数研究函数的单调性问题常在解答题的第1问中呈现，有一定的区分度，此类题涉及函数的极值点、利用导数判断函数的单调性、不等式的恒成立等.(2016·辽宁葫芦岛模拟)已知x＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一个极值点．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间1,2]内单调递增，求实数a的取值范围.【导学号：85952067】解](1)因为f(x)＝2x＋＋lnx，所以f′(x)＝2－＋，因为x＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一个极值点，所以f′(1)＝2－b＋1＝0，解得b＝3，经检验，符合题意，所以b＝3.则函数f(x)＝...