椭圆的概念性质,直线和椭圆的位置关系VIP专享VIP免费

【教学目标】高三数学（第23周）椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系1、熟练掌握椭圆的定义：到两定点的距离之和等于定长（大于两定点间的距离）的点的集合及椭圆的第二定义，并能灵活地运用定义来解决有关问题。2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程x2y221、2aby2x21（a＞b＞0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程和离心率、长轴长、a2b2短轴长、焦距焦半径的计算。3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题。【知识讲解】例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点A（3，0），求椭圆的方程。分析：椭圆的长、短轴都在坐标轴上，实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论。x2y2解：1°若焦点在x轴上，设椭圆的方程为221，把点A（3，0）代入得ab290x221则a2=9，b2=1，所以所求椭圆方程为y1。2ab9a3by2x22°若焦点在y轴上，设椭圆的方程为221同理可得a2=81，b2=9，此时椭aby2x21。圆的方程为819x2y21后，不能简单地认为，焦点在y说明：求出了焦点在x轴上的椭圆为9y2x21。因为椭圆过一定点（3，0）轴上的椭圆的方程就是，则求焦点在y轴上的9椭圆仍应先设出方程，再用代入法求得。x2y21，直线y=kx+4交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，例2、已知椭圆4若kOA+kOB=2，求直线斜率k。ykx4解：解方程组x2消去y，整理得（1+4k2）x2+32kx+60=02y14△=(32k)2-4×60(1+4k2)=16(4k2-15)>0设A(x1，y1)、B(x2，y2)kOA+kOB=2等价于y1y22即y1x2+y2x1=2x1x2x1x2即(kx1+4)x2+(kx2+4)x1=2x1x1整理得(k-1)x1x2+2(x1+x2)=0 x1+x2=32k606032kxx=∴(k-1)+2·=012222214k14k14k14k解之得k=-15满足△>0∴k=-15x2y21，例3、已知椭圆C的直角坐标方程为若过椭圆C的右焦点F的直线l43与椭圆C相交于A(x1、y1)，B(x2，y2)，两点（其中y1>y2），且满足AFBF2，试求直线l的方程。解：由已知条件，可知椭圆C的左焦点F的坐标为（1，0），设l的方程为y=k(x-1)，则l与C的两个焦点：A(x1、y1)，B(x2，y2)，y=k(x-1)①，①代入②得：x2y21②43(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=AF8k24k2122③x1·x2=④，由条件BF34k234k2x12x294k24k2952=1，即x1=3-2x2⑤∴x2=∴，x=，代入④得：k，k=11234k234k24±yy1550∴l方程：y=-(x1)，易见x1y2，故k=2x2x122例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，求这个椭圆的长、短轴长及离心率。解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意可知，b=R=6，又因为截面与底面所成角等于30°，则RRR43，∴椭圆的长轴长cos30，∴acos30a32为83，短轴长为12，ca2b223，∴离心率ec1。a2x1，2y1例5、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线l，斜率为又设d为原点到直线l的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：r1r2d为定值。分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0x2y2＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆221上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离aby2x2|PF1|=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2|=a-ex1；同理椭圆221上任一点P（x1，y1）ab到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。22解：由椭圆方程x2y2可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率e2，由焦半2径公式可知，r1r2(aex1)(aex1)aex1222212x1。又直线l的方程为：2yy1又点2x1(xx1)即x1x+2y1y-2=0，d由点到直线的距离公式知，2y1x122x14y1，22，∴（，y1）在2椭圆上2，∴2y12=2=x12d2x14y12x12(2x1)2224x1，4x12∴r1r2d2为定值。2244x1x2y21，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，例6、已知椭圆43使它到左准线...