第1页共2页AEDCBF（图386）略谈两类略谈两类等腰三角形等腰三角形之特殊性之特殊性（上饶市秦峰中学朱校华）特殊的等腰三角形主要有（一）等边三角形、（二）等腰直角三角形两大类，至于黄金等腰三角形仅仅涉及一两道题而已。（一）等边三角形1.等边三角形（也叫正三角形）：①三边相等；②三角相等（每一个角均等于60°）；③四“心”合一（即“重心、垂心、内心、外心”互相重合）；④是拥有3条对称轴的轴对称图形。感悟：以上四条说的是“等边三角形的性质”，也即：当题给条件中，说了“某个三角形是等边三角形”时，我们就要想到上面提到的①②③④，至于用哪一条，需结合题目而定。比如：（经典中考题一经典中考题一）如图386示，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DB＝CE，AE与CD相交于点F.试计算∠AFD的度数？简析：本题非常经典，猜也猜得出∠AFD＝60°显然，这与“等边三角形每一个内角是60°”是分不开的；换句话说：做题的关键是试图找到∠AFD等于△ABC任一个内角即可；事实上，由“外角定理”知：∠AFD＝∠ACD＋∠CAE，如果∠CAE＝∠BCD，那么∠AFD＝∠ACD＋∠BCD＝∠CAB＝60°，问题得以解决！于是，联想到△ACE≌△CBD（SAS），这里自然用到等边三角形性质之①②，③④在本题中无需用到。请同学们完成解的书写过程！2.判定一个三角形是否是等边三角形？主要有三法：①定义法（三边相等的三角形是等边三角形）；②定理法（有两个60°角的三角形是等边三角形或有三个角相等的三角形是等边三角形）；③过度法（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）感悟：等边三角形的判定，是中考热点题之一。以上三大判别法，各有千秋：定义法是基本法；定理法是重要法；过度法是常用法。————一个都不能少，要好好地去领悟哦！又如：（注：将经典中考题一经典中考题一变式后为如下题；其实是两道“特漂亮的中考题特漂亮的中考题”）如图386示，等边△ABC中，点D、E、G分别在边AB、BC、CA上，DB＝CE＝AG，AE与CD相交于点F，AE与BG交于点M，BG与CD交于点N.求证：⑴△DEG是等边三角形；⑵△FMN是等边三角形.提示：题（1）可用“定义法”判定之；题（2）可用“定理法”证明之.（二）等腰直角三角形3.等腰直角三角形，具有等腰三角形一切性质，又具有直角三角形所有性质（目前直角三角形的性质只有：直角三角形两锐角互余），于是有：等腰直角三角形每一个锐角均等于等腰直角三角形每一个锐角均等于45°45°.4.等腰直角三角形的判定法：(最常用的两条判别法)有两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形；朱校华活心教学法·课题研究原创材料系列第2页共2页D（图387）EBAC有两个角分别等于45°的三角形是等腰直角三角形.例如：（经典中考题二经典中考题二）如图387示，等腰△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在边CA上，EB＝AD.求证：⑴△CDE是等腰直角三角形；（2）AD⊥BE温馨提示：本题关键处在于证明Rt△BCE≌Rt△ACD(HL)本题变式：如图387示，等腰△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在边CA上，DC＝CE，猜想：线段AD与BE存在何种数量与位置关系？写出您认为正确的关系式并证明之.（三）黄金等腰三角形5.黄金等腰三角形是指顶角等于36°的等腰三角形：其具有等腰三角形的一切性质；特性：①黄金等腰三角形三个内角度数之比为1︰2︰2（反之亦真）；②黄金等腰三角形一个底角的平分线将原三角形划分成二个新等腰三角形，其中一个三角形也是黄金等腰三角形（与原三角形相似）.黄金等腰三角形，在八年级数学本学期常见的题型无非是“将一个黄金等腰三角形纸片怎样剪成三个不同的（不能全等）等腰三角形？（要求至少至少画出三种不同的图案）（详见《一课一练》上有这方面的题；到了九年级学得将会更详、更多、更深！……）朱校华活心教学法·课题研究原创材料系列
