有质量的弹簧放寒假回家，爸爸说要抱我，看看我长重了没有，我故意使劲想让他抱不动，我绷紧肌肉爸爸费了好大力量也没抱起我。“不要使劲，”爸爸说，“使劲我怎么抱得动！”我不想继续难为他，便放松了肌肉，他果然轻松的举起了我，“还要多锻炼呀！太轻了！”爸爸对我说。突然，脑中忽然闪过那个词，使劲？我使得可是内力呀！为什么内力让自己显得更重了？于是便有了以下这些思考：1．有质量的弹簧为了解决以上的问题，由于人体有弹性，不妨将人体看成一个有质量的弹簧，肌肉的收缩改变弹簧的倔系数。下面我们的讨论对象就是这个有长度有质量的弹簧。当我研究它时，发现这个由人体抽象而来的模型有很多很复杂的性质。2．质心的位置设弹簧的原长为L，质量为M，倔强系数为K，立于地面上，高为h，线密度为p是x的函数，下面计算质心离顶端的高度d。考虑微元dm，它上面的弹簧共重mg，则有dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dm两边积分∫0adx=∫0MmgkMdm，其中a为弹簧在重力作用下收缩的长度。得到，a=Mg2k注：这里的计算不能对整个弹簧使用胡克定律，aK=Mg,从而得到a=Mgk，因为此时的弹簧各个部位的压缩状况是不同的了！又g∫0xpdx=MpdxK(pdxML−dx),即g∫0xpdx=KL-MK/p两边对x求导：gp=MKdpp2dx，解此微分方程得到：p=p0√MKMK−2gp02x,其中p0=M/L.所以质心离顶端的高度d=1M∫0l−axpdx=√MK3g2p03M((MK)3/2−MK√MK−2g(L−a)p02−g(L−a)p02√MK−2g(L−a)p02)，其中a=Mg2k，p0=M/L.容易看到当k趋向无穷大时，d=L/2，此时弹簧可看作刚体，质心当然是在重点！求导后容易发现d/l（l=L-a），随着K的增大减小，其实从p的表达式可以直接观察到这一点，因为当K小时，p随x的增加变化快，相反当k很大时，p随x的增加增加的较慢，故质心将更接近中点！3．举起有质量的弹簧如图，设用恒力f向上提弹簧的顶端，当底端刚好离开地面时弹簧的动能为零。弹簧举起前后的高度分别是h1和h2，故f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2，E1分别是（2），（1）中弹簧的弹性势能，若用小于Mg的力f,去拉弹簧，则它将先做向上的加速度不断减小的加速运动，只到加速度变为向下，继续向上做减速运动，当底端脱离的瞬间速度为零，此时加速度仍向下，故（2）中弹簧的拉伸长度a=Mg‘2k，其中g‘
