高中数学教科书资源的开发与利用——数学人教A版选修2-1课本例习题改编1、原题（人教A版选修2－1第42页练习第3题）已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点．（1）求的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？改编题：已知双曲线的方程为，点在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点,，为另一焦点，则的周长为．解析：设，，，，则，，∴，又，∴，故，。即的周长为.2、原题(人教A版选修2－1第13页习题1.2B组第2题)证明:是等边三角形的充要条件是，这里的三边.改编题：已知的三个内角A、B、C所对的边分别为，则是A=2B的（）条件.A．充要B．充分而不必要C．必要而不充分D．既不充分也不必要解析：，故选A.13、原题（人教版选修2-1第55页练习第6题）已知方程表示双曲线，求m的取值范围.改编题：若椭圆的方程为，则m的取值范围是.解析：由题意得，解之，即.4、原题（人教A版选修2－1第67页练习第3题（2））抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是.改编题：设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点使，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为．解析：设，则，于是，即，由于，，故，又，故．5、原题（人教A版选修2－1第41页例2）在圆上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？改编题：已知P是抛物线上的任意一点，定点，点M在线段PA上且PM=2MA，则点M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为，因为点M在线段PA上且PM=2MA，又，，代入抛物线得，即所求点M的轨迹方程是.6、原题（人教版选修2-1第94页练习第1题）已知向量是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量构成空间的另一个基底？2改编题：已知正方体,E是底面的中心，则.(用基底表示)解析：===.7、原题（人教版选修2-1第49页习题2.2A组第7题）如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点。线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？改编题：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD,设CD与OM交于P,则点P的轨迹是（）解析：由条件知.,所以P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆.8、原题（人教版选修2-1第50页习题2.2B组第2题）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.改编题：已知动圆M和定圆内切且过点P，求动圆圆心M的轨迹及其方程.解析：由题意知，定圆的圆心Q，r=8,故P在定圆内.设动圆圆心为M，则为动圆半径，又圆M与圆Q内切，,,故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ的中点为原点，.所以动圆圆心M的轨迹方程为.9、原题（人教版选修2-1第61页练习第3题）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。改编题：已知中心在原点且对称轴为坐标轴的椭圆C,其右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为.解析：设椭圆的标准方程为，抛物线的焦点是，所以椭圆的3半焦距，即，又，，从而椭圆的方程为.10、原题（人教A版选修2－1第80页第12题）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度（m），那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到0.1m）改编题：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）解析：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.∵圆经过点（10，0），（0，4），∴，解得.∴圆的方程是.令，得.故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.4
