《3.1.1函数的平均变化率》课件1VIP专享VIP免费

3.1.1函数的平均变化率美国康奈尔大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”.试验人员把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子.试验人员又把该青蛙投入冷水锅中，然后开始慢慢加热水锅.刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备.一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了.如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点，H是山顶，登山路线用y=f(x)表示；其中自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度.想想陡峭程度应怎样表示？登山问题xHABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x0，y0)B(x1，y1)选取平直山路AB放大研究:若0011(,),(,)AxyBxy10xxx10yyy自变量的改变量函数值的改变量10011001yyyyykxxxxx直线AB的斜率:xyD1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0，y0)B(x1，y1)Oyxx2x3y2y3C(x2，y2)D1(x3，y3)1010yyykxxx直线AB的斜率:32132yyykxxx直线CD1的斜率:x竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓.现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的.可以近似地刻画.(举例：地球表面与平面)也就是说，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡.D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx2x3y2y3C(x2，y2)D1(x3，y3)32132yyykxxx直线CD1的斜率:x越大，山坡越陡，高度的平均变化量就越大yx函数的平均变化率已知函数在点及其附近有定义，令，则当时，比值叫做函数在到之间的平均变化率()yfx0xx0xxx0000()()()()yyyfxfxfxxfx0x00()()fxxfxyxx()yfx0x0xx思考：(1)△x、△y的符号是怎样的？(2)该两变量应如何对应？理解：2、对应性：若2121,()().xxxyfxfx则21211,0,;xxxxx、是附近的任意一点即但可正可负21()().yfxfx可正可负，也可为零例1.求函数在到之间的平均变化率2yx0x0xx解:当函数在到之间变化的时候2yx0x0xx函数的平均变化率为2200000()()()2fxxfxxxxyxxxxx分析:当取定值，取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样.x0x例2.求函数在到之间的平均变化率1yx0x0xx解:当函数在到之间变化的时候0x0xx1yx函数的平均变化率为00000011()()1()fxxfxxxxyxxxxxx若呢？yx练习：21.33,3Δ9.6Δ.6ΔΔ.3Δ.9ΔsttAtBttCtDt质点运动规律,则在时间()中相应的平均速度为()2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.A253t小结知识：函数平均变化率方法与思想：数形结合，化未知为已知的转化思想